Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais com potências fracionárias. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica adequada e integrar usando técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que , então temos:

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então ou . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais da forma , a substituição é útil.

Passo 5

Aplicando a substituição , derivamos . Substituindo na integral:

Passo 6

Simplificando , então:
Como é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar:

Passo 7

Lembrando que , reescrevemos a integral:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , temos:
Substituindo:

Passo 9

Finalmente, lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
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; em torno do eixo .
Calcule a integral