Calcule a integral: integral d x[(a x)^2-b^2]^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais com potências fracionárias. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica adequada e integrar usando técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que integral dx(a^2 x^2 - b^2)^3/2 , então temos:

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos deixar integral dua(u^2 - b^2)^3/2 = 1a integral du(u^2 - b^2)^3/2 , então ou . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais da forma , a substituição é útil.

Passo 5

Aplicando a substituição integral b sectheta tantheta , dtheta(b^2 sec^2theta - b^2)^3/2 = integral b sectheta tantheta , dtheta(b^2 (sec^2theta - 1))^3/2 , derivamos . Substituindo na integral:

Passo 6

Simplificando integral b sectheta tantheta , dtheta(b^2 tan^2theta)^3/2 = integral b sectheta tantheta , dthetab^3 |tantheta|^3 , então:
integral b sectheta tantheta , dthetab^3 tan^3theta = 1b^2 integral secthetatan^2theta , dtheta
Como é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar:

Passo 7

Lembrando que 1b^2 integral costhetasin^2theta , dtheta = 1b^2 integral cottheta csctheta , dtheta , reescrevemos a integral:
1b^2 (-csctheta) + C = -1b^2 csctheta + C
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original csctheta = raizu^2 - b^2b . Lembrando que -1b^2 cdot raizu^2 - b^2b + C = -raizu^2 - b^2b^3 + C , temos:
Substituindo:

Passo 9

Finalmente, lembrando que -raiz(a x)^2 - b^2b^3 + C = -raiza^2 x^2 - b^2b^3 + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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