Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais com potências fracionárias. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica adequada e integrar usando técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
, então temos:
Passo 3
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
ou
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais da forma
, a substituição
é útil.
Passo 5
Aplicando a substituição
, derivamos
. Substituindo na integral:
Passo 6
Simplificando
, então:
Como
é positivo no intervalo considerado, podemos simplificar:
Passo 7
Lembrando que
, reescrevemos a integral:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, temos:
Substituindo:
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
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; em torno do eixo
.
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; em torno do eixo
.
Calcule a integral