Calcule integral 11+2 x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à integração de funções que se parecem com . Para resolver isso, vamos usar a fórmula que envolve a função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a expressão para que ela fique parecida com a fórmula que conhecemos. Observa que o denominador 1 + 2x^2 = 2( x^2 + 12 ) pode ser escrito de outra forma:
integral 11 + 2x^2 , dx = integral 12( x^2 + 12 ) , dx = 12 integral 1x^2 + ( 1raiz2 )^2 , dx
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que temos a forma padrão da integral:
integral 1a^2 + x^2 , dx = 1a arctan( xa ) + C
No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
12 integral 1x^2 + ( 1raiz2 )^2 , dx = 12 cdot 11raiz2 arctan( x1raiz2 ) + C
Simplificando os termos:
12 cdot raiz2 arctan( raiz2x ) + C = raiz22 arctan( raiz2x ) + C

Resposta

integral 11 + 2x^2 , dx = raiz22 arctan( raiz2x ) + C

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