Calcule integral x^25-x^6 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem substituição para simplificar a expressão. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Observando o denominador , podemos reescrevê-lo como . Isso sugere que podemos fazer uma substituição útil. Vamos definir .

Passo 3

Com dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3 , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral x^25 - x^6 , dx = integral du35 - u^2 = 13 integral 15 - u^2 , du e na integral original:

Passo 5

A integral 12a ln|a + ua - u| + C é uma integral padrão que resolve para:
No nosso caso, , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
13 integral 15 - u^2 , du = 13 cdot 12raiz5 ln|raiz5 + uraiz5 - u| + C = 16raiz5 ln|raiz5 + uraiz5 - u| + C

Passo 7

Finalmente, substituímos 16raiz5 ln|raiz5 + x^3raiz5 - x^3| + C de volta para a variável original:

Resposta

A integral é igual a .

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