(e^y + y) dx + (e^y + 1) x dy = 0
R. x(e^y + y) = c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . Vamos chamar:
  • multiplicado por , ou seja,
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata! Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função . Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , pois a integração em relação a pode adicionar qualquer função de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Como , temos:
Isso implica que . Portanto, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Agora, a função fica:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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