R.
R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Vamos chamar:
-
-
multiplicado por , ou seja,
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
. Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a integração em relação a
pode adicionar qualquer função de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Como
, temos:
Isso implica que
. Portanto,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Agora, a função
fica:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: