Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
. Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, especificamente sobre séries de Laurent. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções ao redor de pontos específicos usando séries e manipular expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Queremos expandir essa função em torno de
, então é útil fazer uma mudança de variável para facilitar a expansão. Vamos definir
. Assim, podemos reescrever
em termos de
:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos expandir
em uma série de Laurent em torno de
. Lembramos que para pequenos valores de
, a função
pode ser expandida em série de Taylor:
Então,
pode ser expandido como uma série de potências negativas e positivas de
. Para encontrar os primeiros quatro termos, vamos inverter a série de
:
Usando a expansão geométrica
, temos:
Passo 4
Voltando à nossa variável original
, lembramos que
. Então, substituindo
na expansão, temos:
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent são então:
Resposta
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno de
são: