Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = csc(z) em torno de z0 = pi.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de . Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, especificamente sobre séries de Laurent. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções ao redor de pontos específicos usando séries e manipular expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Queremos expandir essa função em torno de , então é útil fazer uma mudança de variável para facilitar a expansão. Vamos definir . Assim, podemos reescrever em termos de :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, precisamos expandir em uma série de Laurent em torno de . Lembramos que para pequenos valores de , a função pode ser expandida em série de Taylor:
Então, pode ser expandido como uma série de potências negativas e positivas de . Para encontrar os primeiros quatro termos, vamos inverter a série de :
Usando a expansão geométrica , temos:

Passo 4

Voltando à nossa variável original , lembramos que . Então, substituindo na expansão, temos:
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent são então:

Resposta

Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de em torno de são:

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