Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você pediu para calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
. Vamos usar conceitos de séries de Laurent e manipulação de funções complexas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma expansão de Laurent. Diferente da série de Taylor, que só tem potências positivas, a série de Laurent pode incluir também potências negativas. Isso é útil para representar funções que têm singularidades (pontos onde a função não é bem definida) próximas ao ponto de expansão.
Aqui, queremos expandir
em torno de
. Vamos fazer um pequeno ajuste: seja
, assim
. Nosso objetivo agora é expandir
em termos de
.
Passo 3
Sabemos que:
Portanto:
Agora, precisamos expandir
em série de Laurent em torno de
.
Passo 4
A expansão em série de Laurent para
próximo de
é:
Multiplicando por -1 para obter a expansão de
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno de
são: