Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = sec(z) em torno de z0 = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você pediu para calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de . Vamos usar conceitos de séries de Laurent e manipulação de funções complexas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma expansão de Laurent. Diferente da série de Taylor, que só tem potências positivas, a série de Laurent pode incluir também potências negativas. Isso é útil para representar funções que têm singularidades (pontos onde a função não é bem definida) próximas ao ponto de expansão.
Aqui, queremos expandir em torno de . Vamos fazer um pequeno ajuste: seja , assim . Nosso objetivo agora é expandir em termos de .

Passo 3

Sabemos que:
Portanto:
Agora, precisamos expandir em série de Laurent em torno de .

Passo 4

A expansão em série de Laurent para próximo de é:
Multiplicando por -1 para obter a expansão de :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de em torno de são:

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