Calcule a integral
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de funções complexas, especificamente usando o teorema dos resíduos. Para resolver isso, vamos identificar os pontos singulares da função dentro do domínio
e calcular os resíduos nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função tem pontos problemáticos, ou seja, onde ela não está bem definida. Olhando para o denominador , vemos que existem singularidades quando
ou .
Resolvendo
, temos
.
Resolvendo , sabemos que quando
, onde
é qualquer inteiro.
Dentro do círculo
, os valores que satisfazem essas condições são:
Portanto, temos dois pontos singulares dentro do domínio:
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os resíduos em cada um desses pontos singulares.
Resíduo em
:
Aqui, a singularidade é simples, ou seja, é um polo de ordem 1. O resíduo pode ser encontrado usando:
Aqui, a singularidade é simples, ou seja, é um polo de ordem 1. O resíduo pode ser encontrado usando:
Resíduo em
:
Em , temos um polo de ordem 2 porque tem um zero de ordem 1 e o denominador também tem
de ordem 1. Para encontrar o resíduo, usamos:
Em
Após derivar e simplificar, encontramos:
Passo 4
Agora que temos os resíduos, aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Finalmente, a integral que queremos calcular é:
Resposta
A integral vale .