Calcule a integral , onde .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de funções complexas, especificamente usando o teorema dos resíduos. Para resolver isso, vamos identificar os pontos singulares da função dentro do domínio e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem pontos problemáticos, ou seja, onde ela não está bem definida. Olhando para o denominador , vemos que existem singularidades quando ou .
Resolvendo , temos .
Resolvendo , sabemos que quando , onde é qualquer inteiro.
Dentro do círculo , os valores que satisfazem essas condições são:
Portanto, temos dois pontos singulares dentro do domínio: e .

Passo 3

Agora, vamos calcular os resíduos em cada um desses pontos singulares.
Resíduo em :
Aqui, a singularidade é simples, ou seja, é um polo de ordem 1. O resíduo pode ser encontrado usando:
Resíduo em :
Em , temos um polo de ordem 2 porque tem um zero de ordem 1 e o denominador também tem de ordem 1. Para encontrar o resíduo, usamos:
Após derivar e simplificar, encontramos:

Passo 4

Agora que temos os resíduos, aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 5

Finalmente, a integral que queremos calcular é:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de .
Considerere o campo vetorial e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. O campo vetorial não é conservativo.b. O campo vetorial é conservativo.c.
d.
Usando o cálculo de resíduos calcular as seguintes integrais:
(a) .
Resposta:
(b)
Resposta:
© .
Resposta: .
(d) .
Resposta: .
(e) .
Resposta: .
(f)
Resposta: .
A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .