Calcule a integral 12 pi i ointpartial D(0,2) f(z) d z, onde f(z)=e^z(z+1) sen z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de funções complexas, especificamente usando o teorema dos resíduos. Para resolver isso, vamos identificar os pontos singulares da função dentro do domínio 12 pi i ointpartial D(0,2) e^z(z+1) sen z , dz e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem pontos problemáticos, ou seja, onde ela não está bem definida. Olhando para o denominador , vemos que existem singularidades quando ou .
Resolvendo , temos .
Resolvendo , sabemos que quando , onde é qualquer inteiro.
Dentro do círculo , os valores que satisfazem essas condições são:
Portanto, temos dois pontos singulares dentro do domínio: e .

Passo 3

Agora, vamos calcular os resíduos em cada um desses pontos singulares.
Resíduo em Res(f, -1) = e^-1sen(-1) = e^-1-sen 1 = -e^-1sen 1 :
Aqui, a singularidade é simples, ou seja, é um polo de ordem 1. O resíduo pode ser encontrado usando:
Resíduo em Res(f, 0) = limz to 0 ddz [ z^2 cdot e^z(z+1) sen z ] :
Em Res(f, 0) = 11 = 1 , temos um polo de ordem 2 porque tem um zero de ordem 1 e o denominador também tem de ordem 1. Para encontrar o resíduo, usamos:
Após derivar e simplificar, encontramos:

Passo 4

Agora que temos os resíduos, aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que:
ointpartial D(0,2) f(z) , dz = 2pi i ( Res(f, -1) + Res(f, 0) )
Substituindo os valores encontrados:

Passo 5

Finalmente, a integral que queremos calcular é:

Resposta

A integral vale .

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