Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
. Isso envolve usar a série de Laurent, que é tipo a série de Taylor, mas permite termos com potências negativas de
. Para isso, vamos precisar conhecer a expansão da função exponencial
e depois dividir por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial
em série de Taylor em torno de 0. A série é dada por:
Essa série nos mostra como
se comporta quando
está próximo de 0.
Passo 3
Agora, queremos dividir essa série por
para obter
. Vamos fazer isso termo a termo:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos identificar os primeiros quatro termos dessa expansão de Laurent:
Esses são os termos que envolvem potências negativas de
e o termo constante.
Resposta
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
são: