Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = e^z / z^3 em torno de z0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de . Isso envolve usar a série de Laurent, que é tipo a série de Taylor, mas permite termos com potências negativas de . Para isso, vamos precisar conhecer a expansão da função exponencial e depois dividir por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função exponencial em série de Taylor em torno de 0. A série é dada por:
Essa série nos mostra como se comporta quando está próximo de 0.

Passo 3

Agora, queremos dividir essa série por para obter . Vamos fazer isso termo a termo:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos identificar os primeiros quatro termos dessa expansão de Laurent:
Esses são os termos que envolvem potências negativas de e o termo constante.

Resposta

Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de são:

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