Considerere o campo vetorial
e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. O campo vetorial
não é conservativo.b. O campo vetorial
é conservativo.c.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos determinar quais das alternativas a, b, c ou d estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e como calcular integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante para isso é que as derivadas parciais devem satisfazer
, onde
.
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar zero. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha de
de
até
utilizando a diferença dos valores de
nos pontos finais:
Calculando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos analisar as alternativas:
a. O campo vetorial
não é conservativo.
Errado, porque mostramos que o campo é conservativo.
Errado, porque mostramos que o campo é conservativo.
b. O campo vetorial
é conservativo.
Correto, conforme demonstrado.
Correto, conforme demonstrado.
c.
Errado, o valor correto é .
Errado, o valor correto é
d.
Correto, conforme calculado.
Correto, conforme calculado.
Resposta
As alternativas b e d estão corretas.