Considerere o campo vetorial F(x, y)=(e^x+y+1) i+e^x+y j e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
cdot a. O campo vetorial F não é conservativo.b. O campo vetorial F é conservativo.c. integral(1,0)^(1,1) F cdot d r=e^22-e
d. integral(1,0)^(1,1) F cdot d r=e^2-e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = (e^x+y + 1) i + e^x+y j e precisamos determinar quais das alternativas a, b, c ou d estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e como calcular integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Uma propriedade importante para isso é que as derivadas parciais devem satisfazer partial Qpartial x = partial Ppartial y, onde F = P i + Q j.
No nosso caso, temos:
  • P = e^x+y + 1
  • Q = e^x+y
Calculando as derivadas:
  • partial Qpartial x = e^x+y
  • partial Ppartial y = e^x+y
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, o campo F é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial f(x, y) tal que:
partial fpartial x = P = e^x+y + 1
Integrando em relação a x:
f(x, y) = integral (e^x+y + 1) dx = e^x+y + x + g(y)
Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y = e^x+y + g'(y) = e^x+y
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é uma constante, que podemos considerar zero. Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = e^x+y + x

Passo 4

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha de F de (1, 0) até (1, 1) utilizando a diferença dos valores de f nos pontos finais:
integral(1,0)^(1,1) F cdot dr = f(1,1) - f(1,0)
Calculando:
f(1,1) = e^1+1 + 1 = e^2 + 1
f(1,0) = e^1+0 + 1 = e + 1
Então:
f(1,1) - f(1,0) = (e^2 + 1) - (e + 1) = e^2 - e

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas:
a. O campo vetorial F não é conservativo.
Errado, porque mostramos que o campo é conservativo.
b. O campo vetorial F é conservativo.
Correto, conforme demonstrado.
c. integral(1,0)^(1,1) F cdot dr = e^22 - e
Errado, o valor correto é e^2 - e.
d. integral(1,0)^(1,1) F cdot dr = e^2 - e
Correto, conforme calculado.

Resposta

As alternativas b e d estão corretas.

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