Considerere o campo vetorial e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a. O campo vetorial não é conservativo.b. O campo vetorial é conservativo.c.
d.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos determinar quais das alternativas a, b, c ou d estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e como calcular integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante para isso é que as derivadas parciais devem satisfazer , onde .
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar zero. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha de de até utilizando a diferença dos valores de nos pontos finais:
Calculando:
Então:

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas:
a. O campo vetorial não é conservativo.
Errado, porque mostramos que o campo é conservativo.
b. O campo vetorial é conservativo.
Correto, conforme demonstrado.
c.
Errado, o valor correto é .
d.
Correto, conforme calculado.

Resposta

As alternativas b e d estão corretas.

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se a densidade for .
Assinale a alternativa correta:a. b.
(○)
c.
d.
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(a) em torno de ;
(b) torno de
© em torno de ; 8
(d) em torno de
(e) em torno de ;
(f) em torno de ;
(g) em torno de .
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de .
Calcule a integral , onde .