Calcule a integral integral-12^0 2 x+1x^3-x^2-x+1 d x desmembrando a função em fraçőes racionais:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral definida de com limites de a . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais usando frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fazer a decomposição em frações parciais da função racional que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 . Para isso, vamos procurar raízes do polinômio. Tentando :
Então, é uma raiz, e podemos fatorar do polinômio.

Passo 3

Vamos dividir cccc 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 hline 1 & 0 & -1 & 0 por usando a divisão sintética:
Assim, o polinômio fatorado fica . E pode ser mais fatorado como . Portanto, o denominador completo é .

Passo 4

Agora, vamos escrever a fração 2x + 1(x - 1)^2(x + 1) = Ax - 1 + B(x - 1)^2 + Cx + 1 como uma soma de frações parciais. Suponhamos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 5

Para encontrar 2x + 1 = A(x - 1)(x + 1) + B(x + 1) + C(x - 1)^2 , 2(1) + 1 = A(0) + B(2) + C(0) Rightarrow 3 = 2B Rightarrow B = 32 e 2(-1) + 1 = A(0) + B(0) + C(4) Rightarrow -1 = 4C Rightarrow C = -14 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 2x + 1 = A(x^2 - 1) + 32(x + 1) - 14(x^2 - 2x + 1) :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, :
Agora, :
Para encontrar , vamos expandir a equação geral:
Comparando os coeficientes, resolvemos e obtemos .

Passo 6

Agora que temos os valores de 2x + 1(x - 1)^2(x + 1) = 34x - 1 + 32(x - 1)^2 + -14x + 1 , 34(x - 1) + 32(x - 1)^2 - 14(x + 1) e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente no intervalo de integral-1/2^0 ( 34(x - 1) + 32(x - 1)^2 - 14(x + 1) ) dx a 34 ln|x - 1| - 32(x - 1) - 14 ln|x + 1| |-1/2^0 :
Calculando cada integral:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para 34 ln| -1| - 32(-1) - 14 ln|1| = 34 ln(1) + 32 - 14 ln(1) = 32 :
34 ln| -32 | - 32(-32) - 14 ln| 12 | = 34 ln(32) + 1 - 14 ln(12)
Para :

Resposta

A integral 32 - ( 34 ln(32) + 1 - 14 ln(12) ) = 12 - 34 ln(32) + 14 ln(2) é igual a:

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