Calcule a integral desmembrando a função em fraçőes racionais:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral definida de com limites de a . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais usando frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar fazer a decomposição em frações parciais da função racional que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, vamos procurar raízes do polinômio. Tentando :
Então, é uma raiz, e podemos fatorar do polinômio.
Passo 3
Vamos dividir por usando a divisão sintética:
Assim, o polinômio fatorado fica . E pode ser mais fatorado como . Portanto, o denominador completo é .
Passo 4
Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Suponhamos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 5
Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, :
Agora, :
Para encontrar , vamos expandir a equação geral:
Comparando os coeficientes, resolvemos e obtemos .
Passo 6
Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente no intervalo de a :