Esboce o gráfico das funções abaixo:
Parabolóides:
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente um tipo chamado paraboloide. Vamos precisar entender como essa função se comporta para desenhar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Tanto o termo
quanto o
têm coeficientes negativos. Isso nos indica que estamos lidando com um paraboloide de concavidade para baixo. Se os coeficientes fossem positivos, seria para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vértice dessa parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico. Como não há termos lineares ou constantes na função, o vértice está na origem, ou seja, no ponto
.
Passo 4
Vamos pensar em como a função se comporta ao longo dos eixos. Se fixarmos
, a função vira
, que é uma parábola descendente no eixo
. Da mesma forma, fixando
, temos
, outra parábola descendo no eixo
. Isso mostra que o gráfico é simétrico em relação aos eixos
e
.
Passo 5
Para descrever o gráfico, imagina uma “tigela” invertida, aberta para baixo. À medida que nos afastamos do vértice, o valor de
diminui, formando uma superfície curva que se expande.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide de concavidade para baixo, com vértice na origem
. Ele possui simetria em relação aos eixos
e
, formando uma superfície em forma de tigela invertida que se abre para baixo no espaço tridimensional.