Esboce o gráfico das funções abaixo:

Parabolóides:

e) f(x, y) = -x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, especificamente um tipo chamado paraboloide. Vamos precisar entender como essa função se comporta para desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Tanto o termo quanto o têm coeficientes negativos. Isso nos indica que estamos lidando com um paraboloide de concavidade para baixo. Se os coeficientes fossem positivos, seria para cima.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vértice dessa parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico. Como não há termos lineares ou constantes na função, o vértice está na origem, ou seja, no ponto .

Passo 4

Vamos pensar em como a função se comporta ao longo dos eixos. Se fixarmos , a função vira , que é uma parábola descendente no eixo . Da mesma forma, fixando , temos , outra parábola descendo no eixo . Isso mostra que o gráfico é simétrico em relação aos eixos e .

Passo 5

Para descrever o gráfico, imagina uma “tigela” invertida, aberta para baixo. À medida que nos afastamos do vértice, o valor de diminui, formando uma superfície curva que se expande.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide de concavidade para baixo, com vértice na origem . Ele possui simetria em relação aos eixos e , formando uma superfície em forma de tigela invertida que se abre para baixo no espaço tridimensional.

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