integral1^3 integral0^1 x e^x y d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral1^3 integral0^1 x e^x y , dy , dx. Esse tipo de problema faz parte do cálculo integral, mais especificamente da integração iterada. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integral0^1 x e^x y , dy. Aqui, x é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a y.

Passo 3

Vamos integrar x e^x y em relação a y:
integral x e^x y , dy
Como x é constante, podemos tirar x para fora da integral:
x integral e^x y , dy
A integral de e^x y em relação a y é:
e^x yx + C
Então, substituindo de volta:
x cdot e^x yx = e^x y
Agora, aplicamos os limites de y de 0 a 1:
e^x cdot 1 - e^x cdot 0 = e^x - 1

Passo 4

Agora, temos que integrar o resultado em relação a x:
integral1^3 (e^x - 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral e^x , dx - integral 1 , dx = e^x - x + C
Aplicando os limites de x de 1 a 3:
( e^3 - 3 ) - ( e^1 - 1 ) = e^3 - 3 - e + 1 = e^3 - e - 2

Resposta

O valor da integral é e^3 - e - 2.

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