Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais, especificamente com potências de e . Para resolver essa integral, vamos usar a regra da integração de funções exponenciais, que diz como integrar expressões da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que multiplicar potências com a mesma base é igual a elevar a base ao somatório dos expoentes. Então, podemos reescrever:

Passo 3

Agora, nossa integral ficou mais simples:
Para integrar uma função da forma , onde é uma constante, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é o logaritmo natural de e é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa integral, onde , temos:

Resposta

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Mostre que a função satisfaz a equação do calor
(a)
Determine: uma solução particular para o sistema não-homogêneo ;
Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam e as funções que dão as temperaturas, no instante , nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas
Suponhamos que e . (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos.)
Determine as funções de temperatura e ;
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver: