Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam
e
as funções que dão as temperaturas, no instante
, nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas
Suponhamos que
e
. (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos.)
Determine as funções de temperatura
e
;
Determine as funções de temperatura
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois ambientes que estão trocando calor, com temperaturas que mudam ao longo do tempo. Nosso objetivo é descobrir como as temperaturas
e
variam com o tempo, sabendo que inicialmente ambas estão a 20°C. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como as coisas mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que o problema nos dá:
Essas equações dizem como as temperaturas
e
mudam a cada segundo. A derivada
representa a taxa de variação da temperatura do ambiente 1, e similarmente para
.
Passo 3
Agora, vamos organizar essas equações de forma mais fácil de trabalhar, usando matrizes. Isso ajuda a visualizar o sistema de equações como uma única expressão. Podemos escrever:
Aqui, a matriz à direita contém os coeficientes das temperaturas nas equações originais.
Passo 4
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz. Isso nos ajuda a descobrir como as soluções vão se comportar no tempo. Calculamos os autovalores resolvendo o determinante da matriz menos
vezes a identidade igual a zero:
Calculando o determinante:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com os autovalores encontrados sendo complexos (
e
), sabemos que as soluções vão envolver funções trigonométricas, como seno e cosseno. A solução geral para o sistema é então:
Aqui,
e
são vetores que iremos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Como
, nossa solução simplifica para:
Vamos definir
e
baseados nas condições iniciais
e
.
Passo 7
Aplicando
na solução geral:
Isso nos diz que
. Agora, precisamos encontrar
.
Passo 8
Para encontrar
, derivamos a solução geral e aplicamos
:
No ponto
:
Usando as equações originais:
Portanto:
Passo 9
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
O que nos dá:
Resposta
As funções de temperatura são:
Exercícios relacionados
Calcule
Mostre que a função satisfaz a equação do calor
(a)
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação: