Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam e as funções que dão as temperaturas, no instante , nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas
Suponhamos que e . (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos.)
Determine as funções de temperatura e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois ambientes que estão trocando calor, com temperaturas que mudam ao longo do tempo. Nosso objetivo é descobrir como as temperaturas e variam com o tempo, sabendo que inicialmente ambas estão a 20°C. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como as coisas mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que o problema nos dá:
Essas equações dizem como as temperaturas e mudam a cada segundo. A derivada representa a taxa de variação da temperatura do ambiente 1, e similarmente para .

Passo 3

Agora, vamos organizar essas equações de forma mais fácil de trabalhar, usando matrizes. Isso ajuda a visualizar o sistema de equações como uma única expressão. Podemos escrever:
Aqui, a matriz à direita contém os coeficientes das temperaturas nas equações originais.

Passo 4

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz. Isso nos ajuda a descobrir como as soluções vão se comportar no tempo. Calculamos os autovalores resolvendo o determinante da matriz menos vezes a identidade igual a zero:
Calculando o determinante:
Resolvendo para :

Passo 5

Com os autovalores encontrados sendo complexos ( e ), sabemos que as soluções vão envolver funções trigonométricas, como seno e cosseno. A solução geral para o sistema é então:
Aqui, e são vetores que iremos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Como , nossa solução simplifica para:
Vamos definir e baseados nas condições iniciais e .

Passo 7

Aplicando na solução geral:
Isso nos diz que . Agora, precisamos encontrar .

Passo 8

Para encontrar , derivamos a solução geral e aplicamos :
No ponto :
Usando as equações originais:
Portanto:

Passo 9

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
O que nos dá:

Resposta

As funções de temperatura são:

Exercícios relacionados

Calcule
Mostre que a função satisfaz a equação do calor
(a)
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação: