Determine: uma solução particular para o sistema não-homogêneo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais não-homogêneas. Isso significa que temos duas equações envolvendo derivadas de
e
em relação ao tempo
, com termos extras que não dependem das próprias funções
e
. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para esse sistema. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a adivinhar a forma da solução particular e encontrar os coeficientes que fazem as equações serem verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
. O sistema é não-homogêneo por causa dos termos
e
.
Passo 3
Agora, vamos supor uma forma para a solução particular. Olhando para os termos não-homogêneos
, faz sentido supor que nossa solução particular também envolva uma função exponencial da forma
. Então, vamos assumir que:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
,
,
e
nas equações originais do sistema:
Para a primeira equação:
E para a segunda equação:
Passo 6
Agora, vamos simplificar ambas as equações dividindo por
(já que
nunca é zero):
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 7
Resolvendo as equações resultantes para
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Resposta
A solução particular do sistema é:
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