Determine: uma solução particular para o sistema não-homogêneo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais não-homogêneas. Isso significa que temos duas equações envolvendo derivadas de e em relação ao tempo , com termos extras que não dependem das próprias funções e . Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para esse sistema. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a adivinhar a forma da solução particular e encontrar os coeficientes que fazem as equações serem verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a . O sistema é não-homogêneo por causa dos termos e .

Passo 3

Agora, vamos supor uma forma para a solução particular. Olhando para os termos não-homogêneos , faz sentido supor que nossa solução particular também envolva uma função exponencial da forma . Então, vamos assumir que:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituímos , , e nas equações originais do sistema:
Para a primeira equação:
E para a segunda equação:

Passo 6

Agora, vamos simplificar ambas as equações dividindo por (já que nunca é zero):
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 7

Resolvendo as equações resultantes para e :
Da primeira equação:
çã
Da segunda equação:
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na segunda equação:

Resposta

A solução particular do sistema é:

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