Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos, além dos pontos de sela, da função
. Isso está dentro da parte de cálculo multivariável, onde analisamos funções de mais de uma variável. Vamos precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante
:
Como
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
. Não há máximos ou mínimos relativos.
Exercícios relacionados
Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam
e
as funções que dão as temperaturas, no instante
, nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas
Suponhamos que
e
. (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos.)
Determine as funções de temperatura e
;
Determine as funções de temperatura
Calcule
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Calcule