Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos, além dos pontos de sela, da função . Isso está dentro da parte de cálculo multivariável, onde analisamos funções de mais de uma variável. Vamos precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Calculamos o discriminante :
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em . Não há máximos ou mínimos relativos.

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Determine as funções de temperatura e ;
Calcule
Seja . Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Calcule