Mostre que a função satisfaz a equação do calor
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação do calor dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e verificar se a equação se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dado que
, a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na equação do calor para verificar se ela é satisfeita:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que, após simplificar, temos:
Para que a equação seja verdadeira para todos os
e
, as duas expressões devem ser iguais. No entanto, isso só acontece se:
Mas essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de
e
a menos que
, o que não é o caso conforme
.
Resposta
A função
não satisfaz a equação do calor dada por
para
.
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Determine: uma solução particular para o sistema não-homogêneo
;
Calcule (usando integração por partes)
Calcule
Suponha que entre dois ambientes 1 e 2 haja troca de calor. Sejam
e
as funções que dão as temperaturas, no instante
, nos ambientes 1 e 2 , respectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas
Suponhamos que
e
. (As temperaturas são dadas em graus centígrados e o tempo em segundos.)
Determine as funções de temperatura e
;
Determine as funções de temperatura