Mostre que a função satisfaz a equação do calor
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação do calor dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e verificar se a equação se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dado que
, a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na equação do calor para verificar se ela é satisfeita:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que, após simplificar, temos:
Para que a equação seja verdadeira para todos os
e
, as duas expressões devem ser iguais. No entanto, isso só acontece se:
Mas essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de
e
a menos que
, o que não é o caso conforme
.
Resposta
A função
não satisfaz a equação do calor dada por
para
.