Mostre que a função satisfaz a equação do calor
partial zpartial x=c^2 partial^2 zpartial x^2 (c>0)
(a) z=e^-t cos (xc)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função partial zpartial x = c^2 partial^2 zpartial x^2 (c > 0) satisfaz a equação do calor dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e verificar se a equação se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = e^-t cdot ( -1c sin (xc) ) = -e^-tc sin (xc) em relação a , ou seja, .
Dado que , a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = -e^-tc cdot ( 1c cos (xc) ) = -e^-tc^2 cos (xc) em relação a , ou seja, .
A derivada de é , então:

Passo 4

Agora que temos partial zpartial x = c^2 partial^2 zpartial x^2 e -e^-tc sin (xc) = c^2 ( -e^-tc^2 cos (xc) ) , vamos substituir esses valores na equação do calor para verificar se ela é satisfeita:
-e^-tc sin (xc) = -e^-t cos (xc)
Substituindo:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que, após simplificar, temos:
-e^-tc sin (xc) = -e^-t cos (xc)
Para que a equação seja verdadeira para todos os 1c sin (xc) = cos (xc) e , as duas expressões devem ser iguais. No entanto, isso só acontece se:
Mas essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de e a menos que , o que não é o caso conforme .

Resposta

A função não satisfaz a equação do calor dada por para .

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