Use as substituições trigonométricas para calcular: integral d xx raizx^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituições trigonométricas. O problema é calcular integral dxx raizx^2-4. Para resolver isso, vamos precisar usar trigonometria e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão raizx^2 - 4. Note que x^2 - 4 é uma diferença de quadrados, então podemos usar a substituição x = 2sectheta.
Por que x = 2sectheta? Porque essa substituição transforma raizx^2 - 4 em uma expressão mais fácil de integrar usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Com a substituição x = 2sectheta, calculamos dx:
dx = 2secthetatantheta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral dxx raizx^2-4 = integral 2secthetatantheta , dtheta2sectheta cdot raiz(2sectheta)^2 - 4

Passo 4

Simplificamos o denominador dentro da raiz:
raiz(2sectheta)^2 - 4 = raiz4sec^2theta - 4 = raiz4(sec^2theta - 1) = raiz4tan^2theta = 2tantheta
Então, a integral fica:
integral 2secthetatantheta , dtheta2sectheta cdot 2tantheta = integral 2secthetatantheta4secthetatantheta , dtheta = integral 12 , dtheta

Passo 5

Integrando:
integral 12 , dtheta = 12 theta + C
Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 2sectheta, então:

Resposta

Portanto, a integral é:

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