Calcule integral 1cos ^2 x(3 tg x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema envolve cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar usar a identidade da derivada da tangente e aplicar uma substituição inteligente para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da tangente é . Isso é super útil porque já temos um na nossa integral. Vamos usar isso para a substituição.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição onde dudx = 3 cdot 1cos^2 x = 3cos^2 x . Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos dá .

Passo 4

Queremos expressar dx = cos^2 x3 du em termos de integral 1cos^2 x (3 tan x + 1) , dx = integral 1u cdot cos^2 x3 , du . Então, isolando 13 integral 1u , du :
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando, obtemos:

Passo 5

A integral de 13 ln |u| + C em relação a é o logaritmo natural:
onde é a constante de integração.

Resposta

Então, a integral 13 ln |3 tan x + 1| + C é igual a:

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