Calcule e verifique o resultado por derivação. integral x+3x(x-3)(x-4) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Essa é uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração x+3x(x-3)(x-4) = Ax + Bx-3 + Cx-4 como uma soma de frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita na forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de x + 3 = A(x-3)(x-4) + Bx(x-4) + Cx(x-3) , 0 + 3 = A(-3)(-4) Rightarrow 3 = 12A Rightarrow A = 14 e 3 + 3 = B cdot 3 cdot (-1) Rightarrow 6 = -3B Rightarrow B = -2 , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 4 + 3 = C cdot 4 cdot 1 Rightarrow 7 = 4C Rightarrow C = 74 :
Agora, vamos escolher valores específicos de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os valores encontrados são , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de x+3x(x-3)(x-4) = 14x - 2x-3 + 74(x-4) , integral 14x , dx = 14 ln|x| + C1 e integral -2x-3 , dx = -2 ln|x-3| + C2 , podemos escrever a fração original como:
integral 74(x-4) , dx = 74 ln|x-4| + C3
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde , e são constantes de integração que podem ser combinadas em uma única constante .

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
integral x+3x(x-3)(x-4) , dx = 14 ln|x| - 2 ln|x-3| + 74 ln|x-4| + C
Onde é a constante de integração.

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