Calcule e verifique o resultado por derivação.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Essa é uma integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita na forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores específicos de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os valores encontrados são , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração original como:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde , e são constantes de integração que podem ser combinadas em uma única constante .

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule .
Calcule:
Calcule
Calcule