Calcule .

Passo 1

Vamos calcular a integral de , onde . Esse exercício envolve o estudo de integrais que envolvem funções quadráticas sob uma raiz, e usaremos técnicas de substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, substituímos na expressão original:

Passo 3

Substituindo e na integral, temos:
Agora, precisamos resolver a integral de .

Passo 4

A integral de pode ser resolvida usando integração por partes, onde:
Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , podemos expressar e em termos de :
Substituindo de volta:
E:
Simplificando a constante:
Como pode ser absorvido na constante de integração , podemos escrever:

Resposta

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