Vamos calcular a integral de , onde . Esse exercício envolve o estudo de integrais que envolvem funções quadráticas sob uma raiz, e usaremos técnicas de substituição trigonométrica para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, substituímos na expressão original:
Passo 3
Substituindo e na integral, temos:
Agora, precisamos resolver a integral de .
Passo 4
A integral de pode ser resolvida usando integração por partes, onde:
Portanto:
onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , podemos expressar e em termos de :
Substituindo de volta:
E:
Simplificando a constante:
Como pode ser absorvido na constante de integração , podemos escrever: