Calcule integral raiza^2+x^2 d x, a>0.

Passo 1

Vamos calcular a integral de , onde . Esse exercício envolve o estudo de integrais que envolvem funções quadráticas sob uma raiz, e usaremos técnicas de substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = a tantheta
Isso significa que:
dx = a sec^2theta , dtheta
Agora, substituímos raiza^2 + x^2 = raiza^2 + a^2tan^2theta = araiz1 + tan^2theta = asectheta na expressão original:

Passo 3

Substituindo integral raiza^2 + x^2 , dx = integral asectheta cdot asec^2theta , dtheta = a^2 integral sec^3theta , dtheta e na integral, temos:
Agora, precisamos resolver a integral de .

Passo 4

A integral de integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln|sectheta + tantheta| pode ser resolvida usando integração por partes, onde:
a^2 integral sec^3theta , dtheta = a^22 sectheta tantheta + a^22 ln|sectheta + tantheta| + C
Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original tantheta = xa e sectheta = raiza^2 + x^2a . Lembrando que a^22 sectheta tantheta = a^22 cdot raiza^2 + x^2a cdot xa = 12 x raiza^2 + x^2 , podemos expressar a^22 ln|sectheta + tantheta| = a^22 ln|raiza^2 + x^2a + xa| = a^22 ln(x + raiza^2 + x^2a) e a^22 ln(x + raiza^2 + x^2a) = a^22 ln(x + raiza^2 + x^2) - a^22 ln a em termos de :
Substituindo de volta:
E:
Simplificando a constante:
Como pode ser absorvido na constante de integração , podemos escrever:

Resposta

integral raiza^2 + x^2 , dx = 12 x raiza^2 + x^2 + a^22 ln(x + raiza^2 + x^2) + C

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