Calcule integral e^x3+4 e^x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de . Isso envolve o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica que facilita a resolução de integrais mais complicadas. Para resolver isso, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificará a integral.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando o denominador u = 3 + 4 e^x , vamos definir:
dudx = 4 e^x Rightarrow du = 4 e^x dx
Agora, precisamos encontrar a derivada de e^x dx = du4 em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Substituindo integral e^x3 + 4 e^x , dx = integral du4u = 14 integral 1u , du e na integral original:
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 4

Agora, integramos 14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos 14 ln|3 + 4 e^x| + C de volta pela expressão original:

Resposta

A integral de 14 ln|3 + 4 e^x| + C é:

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