Calcule

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral de uma função que envolve cosseno e seno ao quadrado, especificamente:
Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de substituição, que fazem parte do cálculo integral. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir, de forma a simplificar a integral.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que no numerador temos e no denominador temos . Isso sugere que podemos deixar .

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a :
Perceba que é exatamente o numerador da integral original, o que facilita a substituição.

Passo 4

Substituímos na integral:
Agora, a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 5

A integral é uma forma padrão que conhecemos. A fórmula para essa integral é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, substituindo de volta , a integral original é igual a:

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Calcule e verifique o resultado por derivação.
Calcule: