Calcule integral 1raiz16-9 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular . Isso envolve cálculo de integrais, mais especificamente uma integral que parece uma forma padrão que a gente resolve usando substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar das fórmulas de integrais envolvendo expressões quadráticas sob a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sob a raiz para facilitar a substituição. Observe que pode ser escrita como . Isso ajuda a identificar melhor a estrutura da expressão.

Passo 3

Agora, vamos fatorar a constante dentro da raiz:
raiz16 - 9x^2 = raiz16 (1 - 9x^216) = 4 raiz1 - (3x4)^2
Isso simplifica a integral para:
integral 14 raiz1 - (3x4)^2 , dx = 14 integral 1raiz1 - (3x4)^2 , dx

Passo 4

Agora, identificamos que . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:
14 integral 1raiz1 - u^2 cdot 43 , du = 13 integral 1raiz1 - u^2 , du
E sabemos que .

Passo 6

Voltando à variável original:
13 arcsin(3x4) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral 1raiz16 - 9x^2 , dx = 13 arcsin(3x4) + C

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