Calcule integral (a^x-b^x)^2a^x b^x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos lidando com exponenciais e integrais. Para resolver isso, vamos precisar expandir o numerador e simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado no numerador:
(a^x - b^x)^2 = a^2x - 2a^xb^x + b^2x
Agora, substituímos isso na integral:
integral a^2x - 2a^xb^x + b^2xa^x b^x , dx

Passo 3

Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
a^2xa^xb^x - 2a^xb^xa^xb^x + b^2xa^xb^x = a^2xa^xb^x - 2 + b^2xa^xb^x

Passo 4

Simplificamos cada fração:
a^2xa^xb^x = a^x cdot a^xa^xb^x = a^xb^x = (ab)^x
E de igual forma:
b^2xa^xb^x = b^x cdot b^xa^xb^x = b^xa^x = (ba)^x
Então a integral fica:
integral (ab)^x - 2 + (ba)^x , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral (ab)^x , dx = (ab)^xln(ab) em relação a integral -2 , dx = -2x é integral (ba)^x , dx = (ba)^xln(ba) , onde é uma constante positiva diferente de 1. Então:

Passo 6

Juntando tudo, a solução da integral é:
(ab)^xln(ab) - 2x + (ba)^xln(ba) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é
(ab)^xln(ab) - 2x + (ba)^xln(ba) + C
onde é a constante de integração.

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