Calcule a integral. integral(1+raiz[3]sen t) cos ^3 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
integral(1+raiz[3]sen t) cos^3 t , dt
Aqui, estamos lidando com uma integral envolvendo funções trigonométricas e raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecimentos básicos de integrais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral separando-a em duas partes:
integral(1+raiz[3]sen t) cos^3 t , dt = integral cos^3 t , dt + integral raiz[3]sen t cdot cos^3 t , dt
Assim, temos duas integrais para resolver: uma mais simples e outra um pouco mais complicada.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral cos^3 t , dt
Sabemos que cos^3 t pode ser reescrita como cos t cdot cos^2 t. E como cos^2 t = 1 - sin^2 t, podemos substituir:
cos^3 t = cos t (1 - sin^2 t)
Agora, a integral fica:
integral cos t (1 - sin^2 t) , dt

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
u = sin t Rightarrow du = cos t , dt
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) , du
Agora, essa é uma integral simples de um polinômio.

Passo 5

Integrando:
integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C
Voltando para a variável original ( u = sin t):
sin t - sin^3 t3 + C
Então, a primeira integral resolve para:
integral cos^3 t , dt = sin t - sin^3 t3 + C

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral:
integral raiz[3]sen t cdot cos^3 t , dt
Vamos simplificar a notação: raiz[3]sen t = (sin t)^1/3.
Então, a integral fica:
integral (sin t)^1/3 cdot cos^3 t , dt

Passo 7

Vamos fazer outra substituição. Seja:
v = sin t Rightarrow dv = cos t , dt
Observe que temos cos^3 t = cos t cdot cos^2 t = cos t (1 - sin^2 t) = cos t (1 - v^2).
Substituindo na integral:
integral v^1/3 cdot (1 - v^2) , dv

Passo 8

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
v^1/3 cdot (1 - v^2) = v^1/3 - v^7/3
Então, a integral fica:
integral v^1/3 , dv - integral v^7/3 , dv

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral v^1/3 , dv:
integral v^1/3 , dv = v^4/34/3 + C = 34 v^4/3 + C
  1. Para integral v^7/3 , dv:
integral v^7/3 , dv = v^10/310/3 + C = 310 v^10/3 + C
Então, juntos:
34 v^4/3 - 310 v^10/3 + C

Passo 10

Voltando para a variável original ( v = sin t):
34 (sin t)^4/3 - 310 (sin t)^10/3 + C
Portanto, a segunda integral resolve para:
integral raiz[3]sen t cdot cos^3 t , dt = 34 (sin t)^4/3 - 310 (sin t)^10/3 + C

Resposta

Juntando as duas partes, a solução completa da integral é:
integral(1+raiz[3]sen t) cos^3 t , dt = sin t - sin^3 t3 + 34 (sin t)^4/3 - 310 (sin t)^10/3 + C
Onde C é a constante de integração.

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