Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral envolvendo funções trigonométricas e raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecimentos básicos de integrais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral separando-a em duas partes:
Assim, temos duas integrais para resolver: uma mais simples e outra um pouco mais complicada.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
Sabemos que
pode ser reescrita como
. E como
, podemos substituir:
Agora, a integral fica:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:
Agora, essa é uma integral simples de um polinômio.
Passo 5
Integrando:
Voltando para a variável original (
):
Então, a primeira integral resolve para:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
Vamos simplificar a notação:
.
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos fazer outra substituição. Seja:
Observe que temos
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Então, juntos:
Passo 10
Voltando para a variável original (
):
Portanto, a segunda integral resolve para:
Resposta
Juntando as duas partes, a solução completa da integral é:
Onde
é a constante de integração.