Calcule a integral. integral0^pi / 4 sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve o estudo de integrais de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . Agora, usando a identidade trigonométrica , podemos substituir:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos x
Então, a derivada de u em relação a x é:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
Note que ajustamos os limites de integração: quando integral0^pi / 4 sen^5 x , dx = integral0^pi / 4 (1 - u^2)^2 sen x , dx = integral1^cos(pi/4) (1 - u^2)^2 (-du) , x = 0, e quando u = cos(0) = 1, x = pi/4.

Passo 5

Simplificando a integral:
= integralcos(pi/4)^1 (1 - u^2)^2 , du
Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
integralraiz22^1 (1 - 2u^2 + u^4) , du

Passo 6

Agora, integraremos termo a termo:
integral (1) , du = u integral (-2u^2) , du = -23u^3 integral u^4 , du = 15u^5
Então, a integral se torna:
[ u - 23u^3 + 15u^5 ]raiz22^1

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para u = 1:
1 - 23(1)^3 + 15(1)^5 = 1 - 23 + 15 = 1515 - 1015 + 315 = 815
Para u = raiz22:
raiz22 - 23(raiz22)^3 + 15(raiz22)^5 = raiz22 - 23 cdot 2raiz28 + 15 cdot 4raiz232
Simplificando:
= raiz22 - raiz26 + raiz240 = raiz2( 12 - 16 + 140 ) = raiz2( 2040 - 6.66640 + 140 ) = raiz2( 14.33340 )
Mas para facilitar, vamos manter a forma fracionária:
= raiz2 ( 1530 - 530 + 3120 ) = raiz2 ( 1030 + 140 ) = raiz2 ( 412 + 140 ) = ldots
Para simplificar completamente, podemos calcular numericamente ou manter a expressão exata.

Resposta

A integral é igual a integral0^pi / 4 sen^5 x , dx. Simplificando, o resultado final é dfrac815 - ( dfracraiz22 - dfracraiz26 + dfracraiz240 ).

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