Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve o estudo de integrais de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . Agora, usando a identidade trigonométrica , podemos substituir:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Note que ajustamos os limites de integração: quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Simplificando a integral:
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integraremos termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Mas para facilitar, vamos manter a forma fracionária:
Para simplificar completamente, podemos calcular numericamente ou manter a expressão exata.
Resposta
A integral é igual a
. Simplificando, o resultado final é
.