Calcule a integral. integral cotg x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nesse exercício, a gente vai trabalhar com cálculo integral, mais especificamente com substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral cot(x) cos^2(x) , dx = integral cos(x)sin(x) cdot cos^2(x) , dx = integral cos^3(x)sin(x) , dx é igual a . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é . Notamos que temos um na integral, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral cos^3(x)sin(x) , dx = integral cos^2(x) cdot cos(x) , dxsin(x) = integral (1 - sin^2(x)) cdot duu . Sabendo que e , temos:
Aqui, usamos a identidade .

Passo 5

Agora, substituímos integral 1 - u^2u , du = integral ( 1u - u ) , du por :
Essa divisão simplifica a integral em duas partes mais fáceis de integrar.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 1u , du - integral u , du = ln|u| - u^22 + C
Aqui, é a integral de e é a integral de .

Passo 7

Por fim, substituímos ln|sin(x)| - sin^2(x)2 + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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