Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Nesse exercício, a gente vai trabalhar com cálculo integral, mais especificamente com substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
. Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
. Notamos que temos um
na integral, o que é ótimo para a substituição.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
. Sabendo que
e
, temos:
Aqui, usamos a identidade
.
Passo 5
Agora, substituímos
por
:
Essa divisão simplifica a integral em duas partes mais fáceis de integrar.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Aqui,
é a integral de
e
é a integral de
.
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral
é igual a
.