Calcule a integral. integraltau / 6^pi / 2 cotg^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar da identidade trigonométrica que relaciona com , além de saber integrar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função cot^2 x = csc^2 x - 1 usando uma identidade trigonométrica que nos ajuda a integrar mais facilmente. Sabemos que:
Isso é útil porque tem uma antiderivada conhecida, e o termo constante também é fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral cot^2 x , dx = integral (csc^2 x - 1) , dx pela expressão simplificada na integral:
integral csc^2 x , dx - integral 1 , dx
Isso nos permite separar a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente. Sabemos que:
integral csc^2 x , dx = -cot x + C
integral 1 , dx = x + C
Portanto, juntando os resultados:
integral (csc^2 x - 1) , dx = (-cot x) - x + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integraç��o, que são de [-cot x - x]tau / 6^pi / 2 = (-cot pi2 - pi2) - (-cot tau6 - tau6) até :

Passo 6

Calculemos cada termo:
Sabemos que -cot pi2 - pi2 = -0 - pi2 = -pi2 porque e .
Então:
Para o outro limite, temos .

Passo 7

Substituindo de volta:
-pi2 - (-cot tau6 - tau6) = -pi2 + cot tau6 + tau6

Resposta

A integral cot tau6 + tau6 - pi2 é igual a:

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