Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar da identidade trigonométrica que relaciona
com
, além de saber integrar funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
usando uma identidade trigonométrica que nos ajuda a integrar mais facilmente. Sabemos que:
Isso é útil porque
tem uma antiderivada conhecida, e o termo constante
também é fácil de integrar.
Passo 3
Agora, substituímos
pela expressão simplificada na integral:
Isso nos permite separar a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos integrar cada parte separadamente. Sabemos que:
Portanto, juntando os resultados:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integraç��o, que são de
até
:
Passo 6
Calculemos cada termo:
Sabemos que
porque
e
.
Então:
Para o outro limite, temos
.
Passo 7
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a: