Calcule

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral . Vamos usar técnicas de integração envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Precisaremos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos fazer uma substituição que aproveite essa semelhança: vamos definir .

Passo 3

Com a substituição , precisamos também transformar . Calculando a derivada de em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz fica:
Como estamos trabalhando com ângulos onde é positivo, podemos simplificar para .

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 6

Sabemos que a integral de é:
Então, nossa integral fica:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando da substituição , temos:
E usando a relação :
Substituindo de volta na expressão da integral:

Resposta

A integral é igual a

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