Beleza, temos que calcular a integral . Vamos usar técnicas de integração envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Precisaremos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos fazer uma substituição que aproveite essa semelhança: vamos definir .
Passo 3
Com a substituição , precisamos também transformar . Calculando a derivada de em relação a , temos:
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz fica:
Como estamos trabalhando com ângulos onde é positivo, podemos simplificar para .
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 6
Sabemos que a integral de é:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando da substituição , temos: