Calcule integral 1raizb^2 x^2-a^2 d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral integral 1raizb^2 x^2-a^2 , dx. Vamos usar técnicas de integração envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Precisaremos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é b^2x^2 - a^2. Isso se parece com a identidade trigonométrica sec^2 theta - 1 = tan^2 theta. Então, vamos fazer uma substituição que aproveite essa semelhança: vamos definir x = ab sec theta.

Passo 3

Com a substituição x = ab sec theta, precisamos também transformar dx. Calculando a derivada de x em relação a theta, temos:
dx = ab sec theta tan theta , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral 1raizb^2 (ab sec theta)^2 - a^2 cdot ab sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
b^2 (ab sec theta)^2 - a^2 = a^2 sec^2 theta - a^2 = a^2 (sec^2 theta - 1) = a^2 tan^2 theta
Portanto, a raiz fica:
raiza^2 tan^2 theta = a |tan theta|
Como estamos trabalhando com ângulos onde tan theta é positivo, podemos simplificar para a tan theta.

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 1a tan theta cdot ab sec theta tan theta , dtheta = 1b integral sec theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de sec theta é:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
Então, nossa integral fica:
1b ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando da substituição x = ab sec theta, temos:
sec theta = b xa
E usando a relação tan theta = raizsec^2 theta - 1:
tan theta = raizb^2 x^2 - a^2a
Substituindo de volta na expressão da integral:
1b ln | b xa + raizb^2 x^2 - a^2a | + C = 1b ln | b x + raizb^2 x^2 - a^2 | + C

Resposta

A integral é igual a dfrac1b ln | b,x + raizb^2x^2 - a^2 | + C

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