Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício envolve técnicas de integração como substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas para cada termo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: . Aqui, vamos usar a técnica de substituição.
Escolhemos . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Isso significa que . Substituindo na integral:
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: . Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
  • (porque sua derivada é mais simples)
  • (a parte que resta)
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Agora, resolve a última integral:
Então, a segunda integral fica:

Passo 5

Finalmente, juntando as duas integrais que resolvemos:
Podemos simplificar um pouquinho:

Resposta

A integral é igual a

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Calcule .
Calcule e verifique o resultado por derivação.