Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício envolve técnicas de integração como substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas para cada termo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
. Aqui, vamos usar a técnica de substituição.
Escolhemos
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Isso significa que
. Substituindo na integral:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
. Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
-
(porque sua derivada é mais simples) -
(a parte que resta)
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Agora, resolve a última integral:
Então, a segunda integral fica:
Passo 5
Finalmente, juntando as duas integrais que resolvemos:
Podemos simplificar um pouquinho:
Resposta
A integral é igual a
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.
Calcule e verifique o resultado por derivação.