Calcule: integral(x^2 e^x^3-x^3 ln x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício envolve técnicas de integração como substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essas técnicas para cada termo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral x^2 e^x^3 dx - integral x^3 ln x , dx
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral x^2 e^x^3 dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u du . Aqui, vamos usar a técnica de substituição.
Escolhemos 13 e^u + C = 13 e^x^3 + C . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Isso significa que . Substituindo na integral:
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral u , dv = uv - integral v , du . Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral x^3 ln x , dx = x^44 ln x - integral x^44 cdot 1x dx = x^44 ln x - 14 integral x^3 dx
Vamos escolher:
  • 14 integral x^3 dx = 14 cdot x^44 = x^416 (porque sua derivada é mais simples)
  • x^44 ln x - x^416 + C (a parte que resta)
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Agora, resolve a última integral:
Então, a segunda integral fica:

Passo 5

Finalmente, juntando as duas integrais que resolvemos:
integral(x^2 e^x^3 - x^3 ln x) dx = 13 e^x^3 - ( x^44 ln x - x^416 ) + C
Podemos simplificar um pouquinho:
13 e^x^3 - x^44 ln x + x^416 + C

Resposta

A integral é igual a

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