Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo da integral
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integração por partes e substituição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão de forma que a gente reconheça partes que já conhecemos como derivadas ou integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a fração para facilitar a integração. Podemos quebrar em duas partes:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral
. Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
, o que significa que
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral
. Essa parte é um pouco mais complicada e aqui entra a técnica de integração por partes. Lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:
Passo 5
Para aplicar integração por partes, vamos escolher:
-
, então -
, então
Substituindo na fórmula:
Isso resulta em:
Passo 6
Percebemos que a integral
aparece dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de
:
Somando
aos dois lados:
Portanto, dividindo por 2:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes que resolvemos:
Resposta
A integral vale
.
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.