Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo da integral . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integração por partes e substituição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão de forma que a gente reconheça partes que já conhecemos como derivadas ou integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração para facilitar a integração. Podemos quebrar em duas partes:

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral . Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja , então , o que significa que . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral . Essa parte é um pouco mais complicada e aqui entra a técnica de integração por partes. Lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:

Passo 5

Para aplicar integração por partes, vamos escolher:
  • , então
  • , então
Substituindo na fórmula:
Isso resulta em:

Passo 6

Percebemos que a integral aparece dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de :
Somando aos dois lados:
Portanto, dividindo por 2:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que resolvemos:

Resposta

A integral vale .

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Calcule:
Calcule .