Calcule integral x-arctg x1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo da integral . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integração por partes e substituição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão de forma que a gente reconheça partes que já conhecemos como derivadas ou integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração para facilitar a integração. Podemos quebrar em duas partes:
integral x1 + x^2 , dx - integral arctan x1 + x^2 , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral integral x1 + x^2 , dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C . Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja , então , o que significa que . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral integral u , dv = u , v - integral v , du . Essa parte é um pouco mais complicada e aqui entra a técnica de integração por partes. Lembrando que a integração por partes é baseada na fórmula:

Passo 5

Para aplicar integração por partes, vamos escolher:
  • integral arctan x1 + x^2 , dx = arctan x cdot arctan x - integral arctan x cdot 11 + x^2 , dx , então integral arctan x1 + x^2 , dx = (arctan x)^2 - integral (arctan x)1 + x^2 , dx
  • , então
Substituindo na fórmula:
Isso resulta em:

Passo 6

Percebemos que a integral I = (arctan x)^2 - I aparece dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de 2I = (arctan x)^2 :
I = (arctan x)^22
Somando aos dois lados:
Portanto, dividindo por 2:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que resolvemos:
integral x - arctan x1 + x^2 , dx = 12 ln(1 + x^2) - (arctan x)^22 + C

Resposta

A integral vale .

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