Calcule integral tg^3 xcos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso faz parte de cálculo, mais especificamente de técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral tan^3 xcos^2 x , dx = integral sin^3 xcos^3 x cdot 1cos^2 x , dx = integral sin^3 xcos^5 x , dx . Então, podemos reescrever como . Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar um fator de integral sin^3 xcos^5 x , dx = integral sin^2 x cdot sin xcos^5 x , dx no numerador para facilitar a substituição:
integral (1 - cos^2 x) cdot sin xcos^5 x , dx = integral sin x - sin x cos^2 xcos^5 x , dx = integral ( sin xcos^5 x - sin x cos^2 xcos^5 x ) dx
Sabemos que integral ( sin xcos^5 x - sin xcos^3 x ) dx = integral ( sin x cdot cos^-5 x - sin x cdot cos^-3 x ) dx , então substituímos:
Simplificando as frações:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar integral ( sin x cdot cos^-5 x - sin x cdot cos^-3 x ) dx = integral ( -u^-5 + u^-3 ) du , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-u^-5 + u^-3) , du = integral -u^-5 , du + integral u^-3 , du
Calculando as integrais:
- u^-4-4 + u^-2-2 + C = u^-44 - u^-22 + C

Passo 6

Voltando para (cos x)^-44 - (cos x)^-22 + C = 14 cos^4 x - 12 cos^2 x + C :
14 sec^4 x - 12 sec^2 x + C
Podemos escrever isso usando a secante:

Resposta

A integral de 14 sec^4 x - 12 sec^2 x + C em relação a é:

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