Calcule as seguintes integrais:
2. integral d xx^4+x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo polinômios no denominador. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra para fatorar o denominador e, depois, aplicar substituições que simplifiquem a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador: . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Com isso, , mas como não temos um no numerador, apenas uma constante, essa substituição direta não ajuda muito. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o denominador. Observe que:
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2
Isso se parece com uma diferença de quadrados, que é igual a (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x). Aplicando isso:
(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
Então, o denominador pode ser fatorado como:

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a integral como:
integral dx(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. Ou seja, vamos expressar como uma soma de frações mais simples.

Passo 5

Assumimos que:
1(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = Ax + Bx^2 + x + 1 + Cx + Dx^2 - x + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum 1 = (Ax + B)(x^2 - x + 1) + (Cx + D)(x^2 + x + 1), temos:

Passo 6

Expandindo os termos:
1 = A x^3 - A x^2 + A x + B x^2 - B x + B + C x^3 + C x^2 + C x + D x^2 + D x + D
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + C) x^3 + (-A + B + C + D) x^2 + (A - B + C + D) x + (B + D)
Para que essa igualdade seja válida para todo A + C = 0 -A + B + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = 1 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação:
    .
  3. Na terceira equação:
    .
  4. Na quarta equação:
    .
  5. Como , então .
  6. Voltando à equação :
    .
  7. E .

Passo 8

Agora que temos os valores de 1(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = 12x + 12x^2 + x + 1 + -12x + 12x^2 - x + 1 , 12 cdot x + 1x^2 + x + 1 + 12 cdot -x + 1x^2 - x + 1 , e :
Podemos simplificar:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral dxx^4 + x^2 + 1 = 12 integral x + 1x^2 + x + 1 , dx + 12 integral -x + 1x^2 - x + 1 , dx
Para cada integral, podemos usar substituições simples:
  • Para , deixe , então .
  • Para , deixe , então .

Passo 10

Calculando as integrais:
12 cdot 12 ln|x^2 + x + 1| + 12 cdot (-12) ln|x^2 - x + 1| + constante
Simplificando:
14 ln|x^2 + x + 1| - 14 ln|x^2 - x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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