Calcule as seguintes integrais:
2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo polinômios no denominador. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra para fatorar o denominador e, depois, aplicar substituições que simplifiquem a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador: . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Com isso, , mas como não temos um no numerador, apenas uma constante, essa substituição direta não ajuda muito. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o denominador. Observe que:
Isso se parece com uma diferença de quadrados, que é igual a . Aplicando isso:
Então, o denominador pode ser fatorado como:

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a integral como:
Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. Ou seja, vamos expressar como uma soma de frações mais simples.

Passo 5

Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 6

Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação:
    .
  3. Na terceira equação:
    .
  4. Na quarta equação:
    .
  5. Como , então .
  6. Voltando à equação :
    .
  7. E .

Passo 8

Agora que temos os valores de , , e :
Podemos simplificar:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
Para cada integral, podemos usar substituições simples:
  • Para , deixe , então .
  • Para , deixe , então .

Passo 10

Calculando as integrais:
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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a) ;
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m) .