Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo polinômios no denominador. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra para fatorar o denominador e, depois, aplicar substituições que simplifiquem a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador: . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Com isso, , mas como não temos um no numerador, apenas uma constante, essa substituição direta não ajuda muito. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o denominador. Observe que:
Isso se parece com uma diferença de quadrados, que é igual a . Aplicando isso:
Então, o denominador pode ser fatorado como:
Passo 4
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a integral como:
Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. Ou seja, vamos expressar como uma soma de frações mais simples.
Passo 5
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Passo 6
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Na terceira equação: .
Na quarta equação: .
Como , então .
Voltando à equação : .
E .
Passo 8
Agora que temos os valores de 1(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = 12x + 12x^2 + x + 1 + -12x + 12x^2 - x + 1 , 12 cdot x + 1x^2 + x + 1 + 12 cdot -x + 1x^2 - x + 1 , e :
Podemos simplificar:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral dxx^4 + x^2 + 1 = 12 integral x + 1x^2 + x + 1 , dx + 12 integral -x + 1x^2 - x + 1 , dx
Para cada integral, podemos usar substituições simples:
Para , deixe , então .
Para , deixe , então .
Passo 10
Calculando as integrais:
12 cdot 12 ln|x^2 + x + 1| + 12 cdot (-12) ln|x^2 - x + 1| + constante
Simplificando:
14 ln|x^2 + x + 1| - 14 ln|x^2 - x + 1| + C
Onde é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.