Calcule integral x^2raizx+1 d x

Passo 1

Vamos lá! Precisamos calcular a integral de . Esse problema está relacionado com integrais que envolvem polinômios e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , e podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, substituímos integral (u - 1)^2raizu , du e na integral original:
Isso simplifica a expressão e deixa a integral em termos de .

Passo 4

Vamos expandir o numerador (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1 :
integral u^2 - 2u + 1raizu , du
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pela raiz de integral ( u^2raizu - 2uraizu + 1raizu ) du = integral ( u^3/2 - 2u^1/2 + u^-1/2 ) du :
Aqui, usamos que .

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente usando a regra de potência para integrais, que diz que integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 , onde integral -2u^1/2 , du = -2 cdot 23 u^3/2 = -43 u^3/2 é a constante de integração:
integral u^-1/2 , du = 2 u^1/2

Passo 7

Juntando esses resultados, a integral fica:
25 u^5/2 - 43 u^3/2 + 2 u^1/2 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos 25 (x+1)^5/2 - 43 (x+1)^3/2 + 2 (x+1)^1/2 + C de volta na expressão:

Resposta

25 (x+1)^5/2 - 43 (x+1)^3/2 + 2 raizx+1 + C

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