Calcule integral 1t^3-t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de problema está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador t^3 - t = t(t^2 - 1) . Podemos perceber que:
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)
E o t^3 - t = t(t - 1)(t + 1) pode ser fatorado ainda mais como diferença de quadrados:
Então, a fatoração completa fica:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, vamos usar frações parciais para escrever 1t(t - 1)(t + 1) = At + Bt - 1 + Ct + 1 como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Para encontrar 1 = A(t - 1)(t + 1) + B t(t + 1) + C t(t - 1) , e , multiplicamos ambos os lados da equação pela expressão para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores estratégicos para que simplificam a equação e facilitam a resolução dos coeficientes.

Passo 5

Primeiro, vamos escolher 1 = A(-1)(1) + B(0)(1) + C(0)(-1) 1 = -A A = -1 :
1 = A(0)(2) + B(1)(2) + C(1)(0) 1 = 2B B = 12
Agora, vamos escolher 1 = A(-2)(0) + B(-1)(0) + C(-1)(-2) 1 = 2C C = 12 :
Por último, escolhemos :

Passo 6

Agora que temos os valores de 1t(t - 1)(t + 1) = -1t + 12t - 1 + 12t + 1 , -1t + 12(t - 1) + 12(t + 1) e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1t^3-t , dt = integral ( -1t + 12(t - 1) + 12(t + 1) ) dt
Integrando termo a termo:
- ln|t| + 12 ln|t - 1| + 12 ln|t + 1| + C

Resposta

A integral de - ln|t| + 12 ln|t - 1| + 12 ln|t + 1| + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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