Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse tipo de problema está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e separar a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos perceber que:
E o
pode ser fatorado ainda mais como diferença de quadrados:
Então, a fatoração completa fica:
Passo 3
Agora que o denominador está fatorado, vamos usar frações parciais para escrever
como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pela expressão
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores estratégicos para
que simplificam a equação e facilitam a resolução dos coeficientes.
Passo 5
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, vamos escolher
:
Por último, escolhemos
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.