Calcule integral x^3x+2 d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício pertence ao assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar realizar uma divisão polinomial e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o grau do denominador ( ). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de integrar. A divisão polinomial permite simplificar a fração em uma parte polinomial e uma parte fracionária com grau menor no numerador.

Passo 3

Vamos dividir x^3x+2 = x^2 - 2x + 4 - 8x+2 por usando a divisão polinomial:
  1. Dividimos por , o que resulta em .
  2. Multiplicamos por , obtendo .
  3. Subtraímos de , ficando com .
  4. Repetimos o processo: dividimos por , resultando em .
  5. Multiplicamos por , obtendo .
  6. Subtraímos de , ficando com .
  7. Por fim, dividimos por , resultando em .
  8. Multiplicamos por , obtendo .
  9. Subtraímos de , ficando com .
Assim, a divisão polinomial nos dá:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral original utilizando o resultado da divisão:
integral x^3x+2 , dx = integral (x^2 - 2x + 4 - 8x+2) , dx
Isso separa a integral em partes mais simples que podemos integrar individualmente.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, usamos a regra básica de integração para potências de e a integral do tipo .

Passo 6

Juntando todas as integrais calculadas, temos:
x^33 - x^2 + 4x - 8 ln|x+2| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^3x+2 , dx = x^33 - x^2 + 4x - 8 ln|x+2| + C

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