Calcule
.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício pertence ao assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar realizar uma divisão polinomial e aplicar regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de integrar. A divisão polinomial permite simplificar a fração em uma parte polinomial e uma parte fracionária com grau menor no numerador.
Passo 3
Vamos dividir
por
usando a divisão polinomial:
- Dividimos
por , o que resulta em . - Multiplicamos
por , obtendo . - Subtraímos
de , ficando com . - Repetimos o processo: dividimos
por , resultando em . - Multiplicamos
por , obtendo . - Subtraímos
de , ficando com . - Por fim, dividimos
por , resultando em . - Multiplicamos
por , obtendo . - Subtraímos
de , ficando com .
Assim, a divisão polinomial nos dá:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral original utilizando o resultado da divisão:
Isso separa a integral em partes mais simples que podemos integrar individualmente.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, usamos a regra básica de integração para potências de
e a integral do tipo
.
Passo 6
Juntando todas as integrais calculadas, temos:
onde
é a constante de integração.