Calcule integral raizx-2 d xx+1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para resolver integrais que não são imediatas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir . Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Com x = t^2 + 2 , podemos expressar dx = 2t , dt em termos de :
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo integral raizx-2 , dxx+1 = integral t cdot 2t , dtt^2 + 2 + 1 = integral 2t^2 , dtt^2 + 3 e na integral original:
Simplificamos o denominador somando 2 e 1.

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
2t^2t^2 + 3 = 2 - 6t^2 + 3
Isso porque:
2t^2 = 2(t^2 + 3) - 6
Então, a integral fica:
integral (2 - 6t^2 + 3) dt

Passo 6

Agora, separamos a integral em duas partes:
integral 2 , dt - 6 integral 1t^2 + 3 , dt
A primeira parte é uma integral simples, e a segunda requer o uso da fórmula da integral de .

Passo 7

Calculando cada integral:
integral 2 , dt = 2t
integral 1t^2 + 3 , dt = 1raiz3 arctan(traiz3) + C
Multiplicando pela constante:
-6 cdot 1raiz3 arctan(traiz3) = -2raiz3 arctan(traiz3)

Passo 8

Somando as duas partes da integral:
2t - 2raiz3 arctan(traiz3) + C
Agora, substituímos de volta na expressão.

Resposta

A integral 2raizx - 2 - 2raiz3 arctan(raizx - 2raiz3) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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