Calcule
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para resolver integrais que não são imediatas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir
. Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Com
, podemos expressar
em termos de
:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificamos o denominador somando 2 e 1.
Passo 5
Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Isso porque:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, separamos a integral em duas partes:
A primeira parte é uma integral simples, e a segunda requer o uso da fórmula da integral de
.
Passo 7
Calculando cada integral:
Multiplicando pela constante:
Passo 8
Somando as duas partes da integral:
Agora, substituímos
de volta na expressão.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.