Determine: c) O fluxo de F sobre S onde F(x, y, z) = (0, 0, 2z), onde S é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2 e z = 3, exceto a face superior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial sobre a superfície S de um paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 2 e z = 3, mas sem a face superior. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com fluxo de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo através de cada face da superfície e somar esses fluxos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o paralelepípedo. Ele está limitado por:
  • Planos coordenados: x = 0, y = 0, z = 0
  • Planos laterais: x = 1, y = 2, z = 3
  • Sem a face superior: z = 3
Isso significa que temos cinco faces para considerar: as faces nas coordenadas x = 0, x = 1, y = 0, y = 2 e a face inferior z = 0.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas cinco faces separadamente. O fluxo é dado por:
Onde:
  • n é o vetor normal à superfície
  • é o elemento de área da superfície
Vamos determinar n para cada face e calcular o produto escalar .

Passo 4

Face em x = 0:
  • Vetor normal: (apontando para fora)
  • Campo
  • Produto escalar:
  • Fluxo: 0

Passo 5

Face em x = 1:
  • Vetor normal:
  • Campo
  • Produto escalar:
  • Fluxo: 0

Passo 6

Face em y = 0:
  • Vetor normal:
  • Campo
  • Produto escalar:
  • Fluxo: 0

Passo 7

Face em y = 2:
  • Vetor normal:
  • Campo
  • Produto escalar:
  • Fluxo: 0

Passo 8

Face inferior em z = 0:
  • Vetor normal:
  • Campo
  • Produto escalar:
  • Como z = 0 nessa face, o produto escalar fica
  • Fluxo: 0

Passo 9

Como todas as cinco faces consideradas resultaram em fluxo zero, o fluxo total do campo F sobre a superfície S é:

Resposta

O fluxo de F sobre S é 0.

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