Determine: c) O fluxo de
sobre
onde
, onde
é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
, exceto a face superior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a superfície
de um paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
, mas sem a face superior. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com fluxo de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo através de cada face da superfície e somar esses fluxos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o paralelepípedo. Ele está limitado por:
- Planos coordenados:
, , - Planos laterais:
, , - Sem a face superior:
Isso significa que temos cinco faces para considerar: as faces nas coordenadas
,
,
,
e a face inferior
.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas cinco faces separadamente. O fluxo é dado por:
Onde:
-
é o vetor normal à superfície -
é o elemento de área da superfície
Vamos determinar
para cada face e calcular o produto escalar
.
Passo 4
Face em
:
- Vetor normal:
(apontando para fora) - Campo
- Produto escalar:
- Fluxo:
Passo 5
Face em
:
- Vetor normal:
- Campo
- Produto escalar:
- Fluxo:
Passo 6
Face em
:
- Vetor normal:
- Campo
- Produto escalar:
- Fluxo:
Passo 7
Face em
:
- Vetor normal:
- Campo
- Produto escalar:
- Fluxo:
Passo 8
Face inferior em
:
- Vetor normal:
- Campo
- Produto escalar:
- Como
nessa face, o produto escalar fica - Fluxo:
Passo 9
Como todas as cinco faces consideradas resultaram em fluxo zero, o fluxo total do campo
sobre a superfície
é:
Resposta
O fluxo de
sobre
é
.