Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: temos uma equação diferencial dada por
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos reconhecer se ela é homogênea e, em seguida, aplicar uma substituição adequada que simplifique a equação para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se a razão
for uma função homogênea de grau zero, ou seja, se todas as partes da equação puderem ser expressas em termos de
.
Observando a equação:
Como a expressão depende de
, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Isso implica que:
Agora, precisamos encontrar
. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando os termos
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, a equação está separável. Vamos reescrevê-la para separar as variáveis
e
:
Lembrando que
, a equação fica:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é a constante de integração.
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Calcule:
Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].
Calcule.
Calcule.