Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: temos uma equação diferencial dada por
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos reconhecer se ela é homogênea e, em seguida, aplicar uma substituição adequada que simplifique a equação para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se a razão for uma função homogênea de grau zero, ou seja, se todas as partes da equação puderem ser expressas em termos de .
Observando a equação:
Como a expressão depende de , a equação é homogênea.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Isso implica que:
Agora, precisamos encontrar . Usando a regra do produto:

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando os termos de ambos os lados:

Passo 5

Agora, a equação está separável. Vamos reescrevê-la para separar as variáveis e :
Lembrando que , a equação fica:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é a constante de integração.

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Calcule:
Mostre que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].
Calcule.
Calcule.