Calcule :
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar frações parciais, que é uma técnica pra dividir frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Nota que isso é uma diferença de quadrados, então dá pra escrever como
.
Passo 3
Agora, vamos decompor
em frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para achar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador
pra eliminar as frações:
Passo 5
Agora, vamos resolver pra
e
. Uma maneira fácil é escolher valores de
que simplificam a equação.
-
Se
: -
Se
:
Passo 6
Então, encontramos que
e
. Vamos substituir esses valores de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separado:
Passo 8
Sabemos que a integral de
é
. Então, aplicando isso:
Resposta
A integral vale
.