Calcule :
integral 1x^2-9 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral de 1x^2-9 em relação a x. Vamos usar frações parciais, que é uma técnica pra dividir frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2-9. Nota que isso é uma diferença de quadrados, então dá pra escrever como (x-3)(x+3).

Passo 3

Agora, vamos decompor 1(x-3)(x+3) em frações parciais. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações mais simples:
1(x-3)(x+3) = Ax-3 + Bx+3
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para achar A e B, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador (x-3)(x+3) pra eliminar as frações:
1 = A(x+3) + B(x-3)

Passo 5

Agora, vamos resolver pra A e B. Uma maneira fácil é escolher valores de x que simplificam a equação.
  • Se x = 3:
    1 = A(3+3) + B(3-3) 1 = 6A + 0 A = 16
  • Se x = -3:
    1 = A(-3+3) + B(-3-3) 1 = 0 + B(-6) B = -16

Passo 6

Então, encontramos que A = 16 e B = -16. Vamos substituir esses valores de volta na expressão das frações parciais:
1x^2-9 = 16cdot 1x-3 - 16cdot 1x+3

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separado:
integral 1x^2-9 , dx = 16 integral 1x-3 , dx - 16 integral 1x+3 , dx

Passo 8

Sabemos que a integral de 1x é ln|x|. Então, aplicando isso:
16 ln|x-3| - 16 ln|x+3| + C

Resposta

A integral vale 16 ln | x-3x+3 | + C.

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