Calcule a integral dupla
integral duplaR 11+x^2+y^2 d A
onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por y=0, y=x e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está pedindo pra calcular . O enunciado diz que a região é o setor do primeiro quadrante limitado por , e . Isso envolve integração em duas variáveis, então vamos precisar usar cálculo multivariável e provavelmente mudar para coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela está no primeiro quadrante, então e são positivas. As fronteiras são:
  • : o eixo x.
  • : uma linha que faz 45 graus com o eixo x.
  • : um círculo de raio 3.
Então, é a parte do primeiro quadrante entre e , dentro do círculo de raio 3.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
Além disso, , então a função dentro da integral fica .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares.
Para :
  • O raio varia de 0 até o raio do círculo, que é 3. Então, .
Para :
  • No primeiro quadrante, varia de 0 a .
  • A linha corresponde a .
Então, varia de 0 a .

Passo 5

Agora podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites definidos:
integral duplaR 11+x^2+y^2 , dA = integral0^pi4 integral0^3 11 + r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^3 r1 + r^2 , dr :
12 integralu=1^u=10 1u , du = 12 ln|u| |1^10 = 12 (ln 10 - ln 1) = 12 ln 10
Fazendo uma substituição simples: deixe , então , ou seja, .
Assim, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi4 12 ln 10 , dtheta = 12 ln 10 cdot theta |0^pi4 = 12 ln 10 cdot pi4 = pi8 ln 10

Resposta

O valor da integral dupla é .

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