onde é o setor do primeiro quadrante limitado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está pedindo pra calcular . O enunciado diz que a região é o setor do primeiro quadrante limitado por , e . Isso envolve integração em duas variáveis, então vamos precisar usar cálculo multivariável e provavelmente mudar para coordenadas polares para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Ela está no primeiro quadrante, então e são positivas. As fronteiras são:
: o eixo x.
: uma linha que faz 45 graus com o eixo x.
: um círculo de raio 3.
Então, é a parte do primeiro quadrante entre e , dentro do círculo de raio 3.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
Além disso, , então a função dentro da integral fica .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares.
Para :
O raio varia de 0 até o raio do círculo, que é 3. Então, .
Para :
No primeiro quadrante, varia de 0 a .
A linha corresponde a .
Então, varia de 0 a .
Passo 5
Agora podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites definidos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo uma substituição simples: deixe , então , ou seja, .
Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: