Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x = e^(2t), y = t + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos a curva definida pelas equações paramétricas e . Isso tudo está dentro do estudo de curvas paramétricas, onde usamos um parâmetro, no caso o , para definir as coordenadas e . Para resolver, vamos precisar entender como e se comportam quando aumentamos .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores para e calcular os correspondentes e . Isso vai nos ajudar a ter pontos que estarão na nossa curva.
Por exemplo:
  • Se :
    Então, temos o ponto (1, 1).
  • Se :
    Ponto (7,39, 2).
  • Se :
    Ponto (0,135, 0).
Esses pontos nos dão uma ideia de como a curva se comporta.

Passo 3

Agora, vamos analisar como e mudam com o aumento de :
  • Para :
    • À medida que aumenta, cresce exponencialmente porque a base elevada a um número maior resulta em um maior.
  • Para :
    • À medida que aumenta, também aumenta linearmente.
Então, quando aumenta, tanto quanto aumentam, mas cresce muito mais rápido por ser uma função exponencial.

Passo 4

Com base nisso, podemos esboçar a curva:
  1. No ponto , temos (0,135, 0).
  2. No ponto , temos (1, 1).
  3. No ponto , temos (7,39, 2).
Conectando esses pontos, teremos uma curva que começa perto do eixo quando é negativo, passa pelo ponto (1,1) e sobe muito rapidamente para a direita conforme aumenta.

Passo 5

Para indicar a direção na qual a curva é traçada quando aumenta, colocamos uma seta começando no ponto com menor (por exemplo, ) e seguindo na direção dos valores maiores de . Assim, a seta vai apontar da esquerda para a direita, do ponto (0,135, 0) passando por (1,1) até (7,39, 2) e além.

Resposta

A curva é uma exponencial crescente que passa pelos pontos (0,135, 0), (1, 1) e (7,39, 2), com direção da esquerda para a direita conforme aumenta.

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