Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos a curva definida pelas equações paramétricas
e
. Isso tudo está dentro do estudo de curvas paramétricas, onde usamos um parâmetro, no caso o
, para definir as coordenadas
e
. Para resolver, vamos precisar entender como
e
se comportam quando aumentamos
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns valores para
e calcular os correspondentes
e
. Isso vai nos ajudar a ter pontos que estarão na nossa curva.
Por exemplo:
-
Se
: Então, temos o ponto (1, 1). -
Se
: Ponto (7,39, 2). -
Se
: Ponto (0,135, 0).
Esses pontos nos dão uma ideia de como a curva se comporta.
Passo 3
Agora, vamos analisar como
e
mudam com o aumento de
:
-
Para
: - À medida que
aumenta, cresce exponencialmente porque a base elevada a um número maior resulta em um maior.
- À medida que
-
Para
: - À medida que
aumenta, também aumenta linearmente.
- À medida que
Então, quando
aumenta, tanto
quanto
aumentam, mas
cresce muito mais rápido por ser uma função exponencial.
Passo 4
Com base nisso, podemos esboçar a curva:
- No ponto
, temos (0,135, 0). - No ponto
, temos (1, 1). - No ponto
, temos (7,39, 2).
Conectando esses pontos, teremos uma curva que começa perto do eixo
quando
é negativo, passa pelo ponto (1,1) e sobe muito rapidamente para a direita conforme
aumenta.
Passo 5
Para indicar a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta, colocamos uma seta começando no ponto com menor
(por exemplo,
) e seguindo na direção dos valores maiores de
. Assim, a seta vai apontar da esquerda para a direita, do ponto (0,135, 0) passando por (1,1) até (7,39, 2) e além.
Resposta
A curva é uma exponencial crescente que passa pelos pontos (0,135, 0), (1, 1) e (7,39, 2), com direção da esquerda para a direita conforme
aumenta.