Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por
, acima do plano
(que é o plano
) e abaixo de um cone definido por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para figuras simétricas em torno do eixo
. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar uma integral tripla para achar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, um ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura no eixo .
Essa mudança facilita muito quando lidamos com cilindros e cones, porque essas formas têm simetria circular.
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações dadas em coordenadas cilíndricas:
- O cilindro
se torna simplesmente , ou seja, . - O cone
pode ser reescrito como , então (considerando apenas já que estamos acima do plano ).
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para
,
e
:
-
varia de 0 a 2 (já que é o raio do cilindro). -
varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo . -
varia de 0 até (do plano até o cone).
Passo 5
Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume
:
Aqui, o
extra é o fator jacobiano que aparece na conversão para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integramos em relação a
:
- Agora, a integral fica:
- Integramos em relação a
:
- Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.