Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z^2 = 9 x^2 + 9 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por , acima do plano (que é o plano ) e abaixo de um cone definido por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para figuras simétricas em torno do eixo . Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar uma integral tripla para achar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, um ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura no eixo .
Essa mudança facilita muito quando lidamos com cilindros e cones, porque essas formas têm simetria circular.

Passo 3

Agora, vamos reescrever as equações dadas em coordenadas cilíndricas:
  • O cilindro se torna simplesmente , ou seja, .
  • O cone pode ser reescrito como , então (considerando apenas já que estamos acima do plano ).

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para , e :
  • varia de 0 a 2 (já que é o raio do cilindro).
  • varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • varia de 0 até (do plano até o cone).

Passo 5

Com os limites definidos, montamos a integral tripla para o volume :
Aqui, o extra é o fator jacobiano que aparece na conversão para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integramos em relação a :
  1. Agora, a integral fica:
  1. Integramos em relação a :
  1. Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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