Calcule.
integral x^4+2 x^2-8 x+4x^3-8 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a integral . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois simplificar a expressão para integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio x^4+2x^2-8x+4x^3-8 = x + 2x^2 +4x^3-8 pelo polinômio . Isso porque o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), e dividir ajuda a simplificar a integral.
Dividindo por :
  1. Multiplicamos por e subtraímos do numerador:

Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x +4) . Observamos que o denominador x + 2x^2 +4(x - 2)(x^2 + 2x +4) pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
2x^2 +4(x - 2)(x^2 + 2x +4) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 + 2x +4
Então, nossa expressão fica:
2x^2 +4 = A(x^2 + 2x +4) + (Bx + C)(x - 2)
Para facilitar a integração, vamos dividir a fração 2x^2 +4 = A x^2 + 2A x +4A + Bx^2 -2Bx + Cx -2C em frações parciais.
Assumimos que:
2x^2 +4 = (A + B)x^2 + (2A - 2B + C)x + (4A -2C)
Multiplicando ambos os lados por 2A - 2(2 - A) + C = 0 Rightarrow 2A -4 +2A + C =0 Rightarrow 4A + C =4 :
4A -2C =4
Expandindo e igualando os coeficientes:
4A + C =4 4A -2C =4
8A + 2C =8 4A -2C =4
Igualando os coeficientes:
  • Para 12A =12 Rightarrow A =1 : 4(1) + C =4 Rightarrow C =0
  • Para 1x - 2 + xx^2 + 2x +4 :
  • Termo constante:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:
Agora, temos:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Somando:
Então,
Substituindo na equação :
Então, as frações parciais são:

Passo 4

Agora, retornando à nossa expressão original:
integral ( x + 1x - 2 + xx^2 + 2x +4 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. x^2 + 2x +4 = (x +1)^2 +3
  2. integral u -1u^2 +3 , du = integral uu^2 +3 , du - integral 1u^2 +3 , du
  3. Para 12 ln|u^2 +3| - 1raiz3 tan^-1(uraiz3) + C , completamos o quadrado no denominador:
12 ln(x^2 + 2x +4) - 1raiz3 tan^-1(x +1raiz3)
Fazendo a substituição , :
Integrando:
Voltando para :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
x^22 + ln|x - 2| + 12 ln(x^2 + 2x +4) - 1raiz3 tan^-1(x +1raiz3) + C
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados