Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a integral . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois simplificar a expressão para integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio pelo polinômio . Isso porque o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), e dividir ajuda a simplificar a integral.
Dividindo por :
  1. Multiplicamos por e subtraímos do numerador:

Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração . Observamos que o denominador pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Então, nossa expressão fica:
Para facilitar a integração, vamos dividir a fração em frações parciais.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes:
Igualando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:
Agora, temos:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Somando:
Então,
Substituindo na equação :
Então, as frações parciais são:

Passo 4

Agora, retornando à nossa expressão original:
Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Para , completamos o quadrado no denominador:
Fazendo a substituição , :
Integrando:
Voltando para :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
onde é a constante de integração.

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