Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois simplificar a expressão para integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio
pelo polinômio
. Isso porque o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), e dividir ajuda a simplificar a integral.
Dividindo
por
:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos do numerador:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração
. Observamos que o denominador
pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Então, nossa expressão fica:
Para facilitar a integração, vamos dividir a fração
em frações parciais.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Igualando os coeficientes:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Resolvendo o sistema:
- De
, temos - Substituindo
na segunda equação:
- Substituindo
e na terceira equação:
Agora, temos:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Somando:
Então,
Substituindo
na equação
:
Então, as frações parciais são:
Passo 4
Agora, retornando à nossa expressão original:
Vamos integrar cada termo separadamente.
-
-
- Para
, completamos o quadrado no denominador:
Fazendo a substituição
,
:
Integrando:
Voltando para
:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
onde
é a constante de integração.
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