Beleza, vamos resolver o exercício de integrais que você enviou! A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver esses tipos de integrais, geralmente precisamos fatorar o denominador e usar frações parciais ou substituições adequadas. Vamos por partes!
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos analisar o denominador . Notamos que ele é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração em termos de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e coletamos termos semelhantes:
Passo 5
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Passo 6
Agora, substituímos e de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, podemos integrar termo a termo:
Sabemos que , onde é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
(b)
Vamos lá! Temos uma integral onde o numerador é uma função que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição simples aqui.
Passo 10
Primeiro, fatoramos o denominador :
Passo 11
Observamos que o numerador é , e a derivada do denominador é . Não é exatamente o que temos, então vamos manipular a expressão para facilitar a integração.
Passo 12
Podemos reescrever a fração:
Passo 13
Agora, adicionamos e subtraímos 5 dentro do numerador:
Passo 14
Então, a integral fica:
Passo 15
A primeira parte é a derivada do denominador, então sua integral é o logaritmo natural:
Para a segunda parte, usamos frações parciais. Já fatoramos o denominador em :
Vamos resolver essa integral onde o numerador é uma soma de termos que podem ser separados para facilitar a integração.
Passo 19
Primeiro, separamos a fração:
Passo 20
Simplificando cada termo:
Passo 21
Agora, a integral fica:
Passo 22
Integrando termo a termo:
Passo 23
(d)
Vamos resolver esta integral onde o numerador é a variável , que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição aqui.
Passo 24
Primeiro, identificamos que o denominador é , cuja derivada é . Isso sugere uma substituição direta.
Passo 25
Vamos fazer a substituição:
Passo 26
Substituindo na integral:
Passo 27
(e)
Vamos resolver essa integral onde o numerador é uma combinação linear que pode ser relacionada à derivada do denominador. Vamos usar frações parciais.
Passo 28
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 29
Expressamos a fração em termos de frações parciais:
Passo 30
Multiplicamos ambos os lados por :
Expande e equaciona:
Passo 31
Igualando os coeficientes:
Resolvendo, somando as equações:
E
Passo 32
Substituindo e :
Passo 33
Integrando cada termo:
Passo 34
(f)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Vamos começar fazendo a divisão polinomial.
Passo 35
Primeiro, dividimos por :
Passo 36
Agora, focamos na parte fracionária . Vamos fatorar o denominador:
Passo 37
Expressamos em frações parciais:
Passo 38
Multiplicamos por :
Expandindo:
Passo 39
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então,
Passo 40
Agora, substituímos:
Passo 41
Voltando à integral original:
Passo 42
(g)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais, já que o denominador é um produto de fatores lineares distintos.
Passo 43
Primeiro, expressamos a fração em termos de frações parciais:
Passo 44
Multiplicamos ambos os lados por :
Passo 45
Escolhemos valores de que simplifiquem a equação:
Para :
Para :
Para :
Passo 46
Agora, temos:
Passo 47
Integrando cada termo:
Passo 48
(h)
Vamos resolver essa integral onde o denominador é uma potência de um binômio. Vamos dividir a fração para facilitar a integração.
Passo 49
Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador:
Passo 50
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 51
Calculando as integrais:
Passo 52
(i)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais após fatorar o denominador.
Passo 53
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 54
Expressamos a fração em termos de frações parciais:
Passo 55
Multiplicamos por :
Expandindo:
Passo 56
Igualando os coeficientes:
Da segunda equação, . Então, .
Passo 57
Substituindo:
Passo 58
Integrando:
Passo 59
(j)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.
Passo 60
Dividimos por :
Usando divisão polinomial ou sintética, encontramos:
Então,
Passo 61
Agora, integramos cada termo:
Passo 62
(k)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Podemos simplificar a expressão.
Passo 63
Escrevemos a fração como:
Passo 64
Agora, a integral fica:
Passo 65
A integral é mais complexa e envolve técnicas avançadas ou reconhecimento de padrões especiais. Uma das soluções envolve substituições trigonométricas ou reconhecimento de que é uma combinação de funções arctangentes.
Porém, a integral não possui uma forma elementar simples, então deixamos expressa dessa maneira.
Passo 66
(l)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.
Passo 67
Dividimos por :
Usando divisão polinomial, encontramos:
Então,
Passo 68
Simplificamos o denominador:
Passo 69
Expressamos a fração remanescente em frações parciais: