Beleza, vamos resolver o exercício de integrais que você enviou! A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver esses tipos de integrais, geralmente precisamos fatorar o denominador e usar frações parciais ou substituições adequadas. Vamos por partes!
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos analisar o denominador . Notamos que ele é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração em termos de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e coletamos termos semelhantes:
Passo 5
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Passo 6
Agora, substituímos e de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, podemos integrar termo a termo:
Sabemos que , onde é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
(b)
Vamos lá! Temos uma integral onde o numerador é uma função que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição simples aqui.
Passo 10
Primeiro, fatoramos o denominador :
Passo 11
Observamos que o numerador é , e a derivada do denominador é . Não é exatamente o que temos, então vamos manipular a expressão para facilitar a integração.
Passo 12
Podemos reescrever a fração:
xx^2-5x+6 = 12 cdot 2xx^2-5x+6
Passo 13
Agora, adicionamos e subtraímos 5 dentro do numerador:
integral 1x - 2 , dx + 4 integral 1(x - 2)^2 , dx + 5 integral 1(x - 2)^3 , dx
Passo 51
Calculando as integrais:
ln|x - 2| - 4x - 2 - 52(x - 2)^2 + C
Passo 52
(i)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais após fatorar o denominador.
Passo 53
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 54
Expressamos a fração em termos de frações parciais:
x + 3x(x - 1) = Ax + Bx - 1
Passo 55
Multiplicamos por x + 3 = A(x - 1) + Bx :
x + 3 = A x - A + B x = (A + B)x - A
Expandindo:
Passo 56
Igualando os coeficientes:
A + B = 1 - A = 3
Da segunda equação, . Então, .
Passo 57
Substituindo:
x + 3x^2-x = -3x + 4x - 1
Passo 58
Integrando:
-3 ln|x| + 4 ln|x - 1| + C
Passo 59
(j)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.
Passo 60
Dividimos 5x^2+1x-1 = 5x + 5 + 6x - 1 por :
Usando divisão polinomial ou sintética, encontramos:
Então,
Passo 61
Agora, integramos cada termo:
integral (5x + 5) , dx + integral 6x - 1 , dx = 52x^2 + 5x + 6 ln|x - 1| + C
Passo 62
(k)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Podemos simplificar a expressão.
Passo 63
Escrevemos a fração como:
x^4x^4 + 1 = 1 - 1x^4 + 1
Passo 64
Agora, a integral fica:
integral 1 , dx - integral 1x^4 + 1 , dx = x - integral 1x^4 + 1 , dx + C
Passo 65
A integral é mais complexa e envolve técnicas avançadas ou reconhecimento de padrões especiais. Uma das soluções envolve substituições trigonométricas ou reconhecimento de que é uma combinação de funções arctangentes.
Porém, a integral não possui uma forma elementar simples, então deixamos expressa dessa maneira.
Passo 66
(l)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.