Calcule:
(a) integral 1x^2-4 d x
(b) integral xx^2-5 x+6 d x
© integral x+3(x-1)^2 d x
(d) integral xx^2-4 d x
(e) integral 2 x+1x^2-1 d x
(f) integral x^2+3 x+1x^2-2 x-3 d x
(g) integral x+1x(x-2)(x+3) d x
(h) integral x^2+1(x-2)^3 d x
(i) integral x+3x^2-x d x
(j) integral 5 x^2+1x-1 d x
(k) integral x^4x^4+1 dx.
(l) integral x^5+3x^3-4 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrais que você enviou! A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver esses tipos de integrais, geralmente precisamos fatorar o denominador e usar frações parciais ou substituições adequadas. Vamos por partes!

Passo 2

(a)
Primeiro, vamos analisar o denominador . Notamos que ele é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 em termos de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(x + 2) + B(x - 2) para eliminar os denominadores:
1 = A x + 2A + B x - 2B = (A + B)x + (2A - 2B)
Agora, expandimos e coletamos termos semelhantes:

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todo A + B = 0 2A - 2B = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
2A - 2(-A) = 1 implies 4A = 1 implies A = 14
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos 1(x - 2)(x + 2) = 1/4x - 2 - 1/4x + 2 e de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 1x^2-4 , dx = 14 integral 1x - 2 , dx - 14 integral 1x + 2 , dx
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
14 ln|x - 2| - 14 ln|x + 2| + C
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
14 ln|x - 2x + 2| + C

Passo 9

(b)
Vamos lá! Temos uma integral onde o numerador é uma função que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição simples aqui.

Passo 10

Primeiro, fatoramos o denominador :

Passo 11

Observamos que o numerador é , e a derivada do denominador é . Não é exatamente o que temos, então vamos manipular a expressão para facilitar a integração.

Passo 12

Podemos reescrever a fração:
xx^2-5x+6 = 12 cdot 2xx^2-5x+6

Passo 13

Agora, adicionamos e subtraímos 5 dentro do numerador:
2xx^2-5x+6 = 2x - 5 + 5x^2-5x+6 = 2x - 5x^2-5x+6 + 5x^2-5x+6

Passo 14

Então, a integral fica:
12 integral ( 2x - 5x^2-5x+6 + 5x^2-5x+6 ) dx

Passo 15

A primeira parte é a derivada do denominador, então sua integral é o logaritmo natural:
12 ln|x^2-5x+6|
Para a segunda parte, usamos frações parciais. Já fatoramos o denominador em 5(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3 :
Resolvendo, encontramos e .

Passo 16

Integrando:
- 52 ln|x - 2| + 52 ln|x - 3|

Passo 17

Juntando tudo:
12 ln|x^2-5x+6| - 52 ln|x - 2| + 52 ln|x - 3| + C

Passo 18

©
Vamos resolver essa integral onde o numerador é uma soma de termos que podem ser separados para facilitar a integração.

Passo 19

Primeiro, separamos a fração:
x + 3(x - 1)^2 = x - 1 + 4(x - 1)^2 = x - 1(x - 1)^2 + 4(x - 1)^2

Passo 20

Simplificando cada termo:
x - 1(x - 1)^2 = 1x - 1
4(x - 1)^2 = 4 cdot 1(x - 1)^2

Passo 21

Agora, a integral fica:
integral 1x - 1 , dx + 4 integral 1(x - 1)^2 , dx

Passo 22

Integrando termo a termo:
ln|x - 1| - 4x - 1 + C

Passo 23

(d)
Vamos resolver esta integral onde o numerador é a variável , que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição aqui.

Passo 24

Primeiro, identificamos que o denominador é , cuja derivada é . Isso sugere uma substituição direta.

Passo 25

Vamos fazer a substituição:
u = x^2 - 4 implies du = 2x , dx implies du2 = x , dx

Passo 26

Substituindo na integral:
integral xx^2-4 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2-4| + C

Passo 27

(e)
Vamos resolver essa integral onde o numerador é uma combinação linear que pode ser relacionada à derivada do denominador. Vamos usar frações parciais.

Passo 28

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 29

Expressamos a fração em termos de frações parciais:
2x + 1(x - 1)(x + 1) = Ax - 1 + Bx + 1

Passo 30

Multiplicamos ambos os lados por 2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1) :
2x + 1 = (A + B)x + (A - B)
Expande e equaciona:

Passo 31

Igualando os coeficientes:
A + B = 2 A - B = 1
Resolvendo, somando as equações:
E

Passo 32

Substituindo 2x + 1x^2-1 = 3/2x - 1 + 1/2x + 1 e :

Passo 33

Integrando cada termo:
32 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| + C

Passo 34

(f)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Vamos começar fazendo a divisão polinomial.

Passo 35

Primeiro, dividimos x^2+3x+1x^2-2x-3 = 1 + 5x + 4x^2-2x-3 por :

Passo 36

Agora, focamos na parte fracionária . Vamos fatorar o denominador:

Passo 37

Expressamos em frações parciais:
5x + 4(x - 3)(x + 1) = Ax - 3 + Bx + 1

Passo 38

Multiplicamos por 5x + 4 = A(x + 1) + B(x - 3) :
5x + 4 = (A + B)x + (A - 3B)
Expandindo:

Passo 39

Igualando os coeficientes:
A + B = 5 A - 3B = 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, 5 - B - 3B = 4 implies 5 - 4B = 4 implies 4B = 1 implies B = 14 . Substituindo na segunda:
Então,

Passo 40

Agora, substituímos:
5x + 4x^2-2x-3 = 19/4x - 3 + 1/4x + 1

Passo 41

Voltando à integral original:
integral (1 + 19/4x - 3 + 1/4x + 1) dx = x + 194 ln|x - 3| + 14 ln|x + 1| + C

Passo 42

(g)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais, já que o denominador é um produto de fatores lineares distintos.

Passo 43

Primeiro, expressamos a fração em termos de frações parciais:
x + 1x(x - 2)(x + 3) = Ax + Bx - 2 + Cx + 3

Passo 44

Multiplicamos ambos os lados por x + 1 = A(x - 2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x - 2) :

Passo 45

Escolhemos valores de 0 + 1 = A(-2)(3) + 0 + 0 implies -6A = 1 implies A = -16 que simplifiquem a equação:
Para 2 + 1 = 0 + B(2)(5) + 0 implies 10B = 3 implies B = 310 :
-3 + 1 = 0 + 0 + C(-3)(-5) implies 15C = -2 implies C = -215
Para :
Para :

Passo 46

Agora, temos:
x + 1x(x - 2)(x + 3) = -16x + 310(x - 2) - 215(x + 3)

Passo 47

Integrando cada termo:
- 16 ln|x| + 310 ln|x - 2| - 215 ln|x + 3| + C

Passo 48

(h)
Vamos resolver essa integral onde o denominador é uma potência de um binômio. Vamos dividir a fração para facilitar a integração.

Passo 49

Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador:
x^2+1(x-2)^3 = (x - 2)^2 + 4(x - 2) + 5(x - 2)^3 = 1(x - 2) + 4(x - 2)^2 + 5(x - 2)^3

Passo 50

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x - 2 , dx + 4 integral 1(x - 2)^2 , dx + 5 integral 1(x - 2)^3 , dx

Passo 51

Calculando as integrais:
ln|x - 2| - 4x - 2 - 52(x - 2)^2 + C

Passo 52

(i)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 53

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 54

Expressamos a fração em termos de frações parciais:
x + 3x(x - 1) = Ax + Bx - 1

Passo 55

Multiplicamos por x + 3 = A(x - 1) + Bx :
x + 3 = A x - A + B x = (A + B)x - A
Expandindo:

Passo 56

Igualando os coeficientes:
A + B = 1 - A = 3
Da segunda equação, . Então, .

Passo 57

Substituindo:
x + 3x^2-x = -3x + 4x - 1

Passo 58

Integrando:
-3 ln|x| + 4 ln|x - 1| + C

Passo 59

(j)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.

Passo 60

Dividimos 5x^2+1x-1 = 5x + 5 + 6x - 1 por :
Usando divisão polinomial ou sintética, encontramos:
Então,

Passo 61

Agora, integramos cada termo:
integral (5x + 5) , dx + integral 6x - 1 , dx = 52x^2 + 5x + 6 ln|x - 1| + C

Passo 62

(k)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Podemos simplificar a expressão.

Passo 63

Escrevemos a fração como:
x^4x^4 + 1 = 1 - 1x^4 + 1

Passo 64

Agora, a integral fica:
integral 1 , dx - integral 1x^4 + 1 , dx = x - integral 1x^4 + 1 , dx + C

Passo 65

A integral é mais complexa e envolve técnicas avançadas ou reconhecimento de padrões especiais. Uma das soluções envolve substituições trigonométricas ou reconhecimento de que é uma combinação de funções arctangentes.
Porém, a integral não possui uma forma elementar simples, então deixamos expressa dessa maneira.

Passo 66

(l)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.

Passo 67

Dividimos x^5+3x^3-4x = x^2 + 4 + 16x + 3x^3 - 4x por :
Usando divisão polinomial, encontramos:
Então,

Passo 68

Simplificamos o denominador:

Passo 69

Expressamos a fração remanescente em frações parciais:
16x + 3x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2

Passo 70

Multiplicamos por 16x + 3 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2) :
16x + 3 = A(x^2 - 4) + B(x^2 + 2x) + C(x^2 - 2x)
Expandindo:
16x + 3 = (A + B + C)x^2 + (2B - 2C)x - 4A

Passo 71

Igualando os coeficientes:
A + B + C = 0 2B - 2C = 16 -4A = 3
Da terceira equação, -34 + B + C = 0 implies B + C = 34 .
Substituindo em outras equações:
2B - 2C = 16 implies B - C = 8
2B = 34 + 8 = 354 implies B = 358
Somando as duas equações:
C = B - 8 = 358 - 648 = -298

Passo 72

Substituindo 16x + 3x(x - 2)(x + 2) = -34x + 358(x - 2) - 298(x + 2) , e :

Passo 73

Voltando à integral original:
integral (x^2 + 4 - 34x + 358(x - 2) - 298(x + 2)) dx
Integrando termo a termo:
x^33 + 4x - 34 ln|x| + 358 ln|x - 2| - 298 ln|x + 2| + C

Resposta

integral x^5+3x^3-4x , dx = x^33 + 4x - 34 ln|x| + 358 ln|x - 2| - 298 ln|x + 2| + C

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