Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) .
(l) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrais que você enviou! A matéria que estamos lidando aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver esses tipos de integrais, geralmente precisamos fatorar o denominador e usar frações parciais ou substituições adequadas. Vamos por partes!

Passo 2

(a)
Primeiro, vamos analisar o denominador . Notamos que ele é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração em termos de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e coletamos termos semelhantes:

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos e de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 9

(b)
Vamos lá! Temos uma integral onde o numerador é uma função que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição simples aqui.

Passo 10

Primeiro, fatoramos o denominador :

Passo 11

Observamos que o numerador é , e a derivada do denominador é . Não é exatamente o que temos, então vamos manipular a expressão para facilitar a integração.

Passo 12

Podemos reescrever a fração:

Passo 13

Agora, adicionamos e subtraímos 5 dentro do numerador:

Passo 14

Então, a integral fica:

Passo 15

A primeira parte é a derivada do denominador, então sua integral é o logaritmo natural:
Para a segunda parte, usamos frações parciais. Já fatoramos o denominador em :
Resolvendo, encontramos e .

Passo 16

Integrando:

Passo 17

Juntando tudo:

Passo 18

©
Vamos resolver essa integral onde o numerador é uma soma de termos que podem ser separados para facilitar a integração.

Passo 19

Primeiro, separamos a fração:

Passo 20

Simplificando cada termo:

Passo 21

Agora, a integral fica:

Passo 22

Integrando termo a termo:

Passo 23

(d)
Vamos resolver esta integral onde o numerador é a variável , que está relacionada à derivada do denominador. Vamos usar substituição aqui.

Passo 24

Primeiro, identificamos que o denominador é , cuja derivada é . Isso sugere uma substituição direta.

Passo 25

Vamos fazer a substituição:

Passo 26

Substituindo na integral:

Passo 27

(e)
Vamos resolver essa integral onde o numerador é uma combinação linear que pode ser relacionada à derivada do denominador. Vamos usar frações parciais.

Passo 28

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 29

Expressamos a fração em termos de frações parciais:

Passo 30

Multiplicamos ambos os lados por :
Expande e equaciona:

Passo 31

Igualando os coeficientes:
Resolvendo, somando as equações:
E

Passo 32

Substituindo e :

Passo 33

Integrando cada termo:

Passo 34

(f)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Vamos começar fazendo a divisão polinomial.

Passo 35

Primeiro, dividimos por :

Passo 36

Agora, focamos na parte fracionária . Vamos fatorar o denominador:

Passo 37

Expressamos em frações parciais:

Passo 38

Multiplicamos por :
Expandindo:

Passo 39

Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então,

Passo 40

Agora, substituímos:

Passo 41

Voltando à integral original:

Passo 42

(g)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais, já que o denominador é um produto de fatores lineares distintos.

Passo 43

Primeiro, expressamos a fração em termos de frações parciais:

Passo 44

Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 45

Escolhemos valores de que simplifiquem a equação:
Para :
Para :
Para :

Passo 46

Agora, temos:

Passo 47

Integrando cada termo:

Passo 48

(h)
Vamos resolver essa integral onde o denominador é uma potência de um binômio. Vamos dividir a fração para facilitar a integração.

Passo 49

Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador:

Passo 50

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 51

Calculando as integrais:

Passo 52

(i)
Vamos resolver essa integral usando frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 53

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 54

Expressamos a fração em termos de frações parciais:

Passo 55

Multiplicamos por :
Expandindo:

Passo 56

Igualando os coeficientes:
Da segunda equação, . Então, .

Passo 57

Substituindo:

Passo 58

Integrando:

Passo 59

(j)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.

Passo 60

Dividimos por :
Usando divisão polinomial ou sintética, encontramos:
Então,

Passo 61

Agora, integramos cada termo:

Passo 62

(k)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é igual ao do denominador. Podemos simplificar a expressão.

Passo 63

Escrevemos a fração como:

Passo 64

Agora, a integral fica:

Passo 65

A integral é mais complexa e envolve técnicas avançadas ou reconhecimento de padrões especiais. Uma das soluções envolve substituições trigonométricas ou reconhecimento de que é uma combinação de funções arctangentes.
Porém, a integral não possui uma forma elementar simples, então deixamos expressa dessa maneira.

Passo 66

(l)
Vamos resolver essa integral onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Fazemos divisão polinomial primeiro.

Passo 67

Dividimos por :
Usando divisão polinomial, encontramos:
Então,

Passo 68

Simplificamos o denominador:

Passo 69

Expressamos a fração remanescente em frações parciais:

Passo 70

Multiplicamos por :
Expandindo:

Passo 71

Igualando os coeficientes:
Da terceira equação, .
Substituindo em outras equações:
Somando as duas equações:

Passo 72

Substituindo , e :

Passo 73

Voltando à integral original:
Integrando termo a termo:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel . Calcule .
Expresse os limites seguintes como uma integral definida no intervalo dado:
(a)
(b)
Sabendo que e , calcule .