Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada de Fresnel, que é usada na física para estudar como a luz se difrata, e também ajuda no planejamento de estradas. A função é definida por uma integral:
O que queremos descobrir é a segunda derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, além de algumas regras de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que é . Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral, a derivada dessa função é simplesmente a função dentro da integral avaliada no ponto .
Aplicando isso:
Então, a primeira derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada, , que é a derivada de . Aqui, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Vamos derivar :
  1. A derivada de em relação a é .
  2. Neste caso, .
  3. Então, a derivada de em relação a é .
Aplicando isso:

Resposta

A segunda derivada de é:

Exercícios relacionados

A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .
Mostre que, para todo , vale a expressão: .
Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) .
(l) .