Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada de Fresnel, que é usada na física para estudar como a luz se difrata, e também ajuda no planejamento de estradas. A função é definida por uma integral:
O que queremos descobrir é a segunda derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, além de algumas regras de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é
. Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral, a derivada dessa função é simplesmente a função dentro da integral avaliada no ponto
.
Aplicando isso:
Então, a primeira derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada,
, que é a derivada de
. Aqui, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Vamos derivar
:
- A derivada de
em relação a é . - Neste caso,
. - Então, a derivada de
em relação a é .
Aplicando isso:
Resposta
A segunda derivada de
é:
Exercícios relacionados
A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(a)
(b) ;
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Mostre que, para todo
, vale a expressão:
.
Utilize o T.F.C para calcular as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) .
(l) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)