Uma importante função presente na teoria física de difração das ondas de luz, que também é aplicada no planejamento de auto-estradas, é a função de Fresnel F(x)=integral0^x sen(pi t^22) d t. Calcule F^prime prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada de Fresnel, que é usada na física para estudar como a luz se difrata, e também ajuda no planejamento de estradas. A função é definida por uma integral:
F(x) = integral0^x sin(pi t^22) dt
O que queremos descobrir é a segunda derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais, além de algumas regras de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de F'(x) = sin(pi x^22) , que é . Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral, a derivada dessa função é simplesmente a função dentro da integral avaliada no ponto .
Aplicando isso:
Então, a primeira derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada, F''(x) = cos(pi x^22) cdot pi x , que é a derivada de . Aqui, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Vamos derivar :
  1. A derivada de em relação a é .
  2. Neste caso, .
  3. Então, a derivada de em relação a é .
Aplicando isso:

Resposta

A segunda derivada de F''(x) = pi x cos(pi x^22) é:

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