Calcule integral 1x^2 raizx^2-1 d x

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Essa substituição é útil porque sabemos que , o que vai simplificar nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = sec(theta) tan(theta) , dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo integral 1sec^2(theta) raizsec^2(theta)-1 cdot sec(theta) tan(theta) , dtheta e raizsec^2(theta)-1 = tan(theta) na integral, temos:
integral 1sec^2(theta) tan(theta) cdot sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Perceba que integral 1sec^2(theta) cdot sec(theta) , dtheta = integral cos(theta) , dtheta e se cancelam:
Porque .

Passo 6

Agora, a integral ficou simples:
integral cos(theta) , dtheta = sin(theta) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Precisamos voltar para a variável original sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta) = raiz1 - 1x^2 = raizx^2 - 1x . Lembrando que usamos , então . Usando uma relação trigonométrica, sabemos que:

Resposta

Portanto, a integral raizx^2 - 1x + C é igual a:

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