Considere a função
.
Através do estudo do sinal de
, determine se este(s) valor(es) de
encontrado anteriormente é ponto de mínimo local, máximo local ou não é ponto extremante.
Através do estudo do sinal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir se os pontos críticos que vamos encontrar são mínimos locais, máximos locais ou nem isso. Isso tudo faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e extrema de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada, achar onde ela é igual a zero (os pontos críticos) e analisar como a derivada se comporta ao redor desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Então, usando as regras básicas de derivação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada existe para todo
, então vamos igualar a derivada a zero:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então, tirando a raiz cúbica:
Portanto, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da derivada em torno de
para ver como a função se comporta.
Escolhemos valores à esquerda e à direita de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 5
Analisando os sinais:
- A derivada é negativa antes de
e positiva depois de .
Isso significa que a função está decrescendo antes de
e crescendo depois. Quando a derivada passa de negativa para positiva, isso indica que temos um mínimo local.
Resposta
O ponto
é um ponto de mínimo local da função
.