Considere a função f(x) = x^4 + 4x.
Através do estudo do sinal de f'(x), determine se este(s) valor(es) de x_0 encontrado anteriormente é ponto de mínimo local, máximo local ou não é ponto extremante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir se os pontos críticos que vamos encontrar são mínimos locais, máximos locais ou nem isso. Isso tudo faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas e extrema de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada, achar onde ela é igual a zero (os pontos críticos) e analisar como a derivada se comporta ao redor desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Então, usando as regras básicas de derivação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada existe para todo , então vamos igualar a derivada a zero:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então, tirando a raiz cúbica:
Portanto, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em torno de para ver como a função se comporta.
Escolhemos valores à esquerda e à direita de :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :

Passo 5

Analisando os sinais:
  • A derivada é negativa antes de e positiva depois de .
Isso significa que a função está decrescendo antes de e crescendo depois. Quando a derivada passa de negativa para positiva, isso indica que temos um mínimo local.

Resposta

O ponto é um ponto de mínimo local da função .

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