Calcule integral 4 x+1x^2-x-2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral da função racional em relação a . Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que permite decompor uma fração mais complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

O primeiro passo para aplicar as frações parciais é fatorar o denominador da fração. Vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) :
integral 4x + 1(x - 2)(x + 1) , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 4x + 1(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1 como a soma de duas frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelos fatores do denominador para eliminar as frações:
4x + 1 = A(x + 1) + B(x - 2)
Agora, vamos resolver para 4(2) + 1 = A(2 + 1) + B(0) 9 = 3A A = 3 e 4(-1) + 1 = A(0) + B(-1 - 2) -4 + 1 = -3B -3 = -3B B = 1 :
  1. Escolhemos para eliminar :
  1. Escolhemos para eliminar :

Passo 5

Agora que encontramos 4x + 1(x - 2)(x + 1) = 3x - 2 + 1x + 1 e integral 4x + 1x^2 - x - 2 , dx = integral 3x - 2 , dx + integral 1x + 1 , dx , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
3 ln|x - 2| + ln|x + 1| + C
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de em relação a é . Aplicando isso:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 3 ln|x - 2| + ln|x + 1| + C é igual a:

Exercícios relacionados