Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral da função racional
em relação a
. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de frações parciais, que permite decompor uma fração mais complexa em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
O primeiro passo para aplicar as frações parciais é fatorar o denominador da fração. Vamos fatorar o polinômio quadrático
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como a soma de duas frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelos fatores do denominador para eliminar as frações:
Agora, vamos resolver para
e
:
- Escolhemos
para eliminar :
- Escolhemos
para eliminar :
Passo 5
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: